Twierdzenie Lagrange'a (rachunek różniczkowy)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy rachunku różniczkowego. Zobacz też: inne twierdzenia Lagrange'a.

Twierdzenie Lagrange'a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym.

Twierdzenie Lagrange'a[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dana funkcja f: \mathbb R \to \mathbb R jest

to istnieje taki punkt c \in (a, b), że:

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).

Twierdzenie nie zachodzi w przypadku wielowymiarowym.

Interpretacja geometryczna[edytuj | edytuj kod]

Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu \left(a, f(a)\right) do punktu \left(b, f(b)\right), istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami \left(a, f(a)\right) i \left(b, f(b)\right).

Twierdzenie Lagrangea.svg

Na rysunku współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie \left(c, f(c)\right) wynosi f'(c). Na mocy twierdzenia Lagrange'a jest on równy:

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Wartość średnia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Lagrange'a zapisane w postaci

~f(b)-f(a)=f'(c)(b - a)

mówi, że przyrost wartości funkcji dla argumentów b i a wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między a i b – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Kładziemy:

K={f(b)-f(a) \over b-a}
~g(x)=f(x)-K(x-a)

Mamy wtedy:

~g(a)=f(a)-K(a-a)=f(a)

oraz

~g(b)=f(b)-K(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)

A więc:

~g(a)=g(b), czyli funkcja ~g(x) spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, a zatem istnieje punkt ~c \in (a,b) taki, że ~g'(c)=0, z drugiej strony mamy ~g'(x)=f'(x)-K i stąd otrzymujemy ~0=g'(c)=f'(c)-K. Dlatego też ~f'(c)=K={f(b)-f(a) \over b-a}. \quad \Box

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w \mathbb R ^n dla n>1) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji \mathbb R \to \mathbb R ^2) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

\| f(b)-f(a) \| \leq |b-a| \cdot sup_{t \in (a,b)} \|f'(t)\|

Dowód polega na stwierdzeniu, że dla każdego \epsilon >0 i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale (a,b) kresem górnym zbioru końców przedziału dla których teza przy a+\epsilon w miejscu a i ograniczeniu górnym zamiast supremum jest spełniona, jest b. Po zastąpieniu ograniczenia kresem, nierówność pozostanie spełniona. Przejście graniczne z \epsilon do zera daje, dzięki ciągłości funkcji f tezę.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]