Twierdzenie Lapunowa

Twierdzenie Lapunowa – twierdzenie teorii miar wektorowych mówiące, że obraz bezatomowej i ograniczonej miary wektorowej o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej jest wypukły i zwarty. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w roku 1940 przez radzieckiego matematyka Aleksieja Lapunowa doczekało się wielu nowych dowodów, z których najbardziej znany pochodzi z pracy Jorama Lindenstraussa z roku 1966. Mimo prostoty samego twierdzenia każdy jego dowód jest nieefektywny (tzn. odwołuje się do pewnej wersji aksjomatu wyboru). W dowodzie Lindenstraussa wykorzystuje się twierdzenie Banacha-Alaoglu oraz twierdzenie Krejna-Milmana.

Twierdzenie

Twierdzenie Lapunowa można sformułować korzystając jedynie z pojęć klasycznej teorii miary. Niżej znajduje się jedna z popularniejszych jego wersji przedstawiona w tym duchu:

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ będzie przestrzenią mierzalną, to znaczy niech ${\mathcal {A}}$ oznacza σ-ciało określone na zbiorze $\Omega$ oraz niech $\mu _{1},\dots ,\mu _{n}$ będą skończonymi i bezatomowymi miarami na ${\mathcal {A}}.$ Wówczas obraz funkcji $\mu$ danej wzorem

$\mu (A)={\big (}\mu _{1}(A),\dots ,\mu _{n}(A){\big )}\quad (A\in {\mathcal {A}})$

jest zwartym i wypukłym podzbiorem przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. PWN, Warszawa 2009