Twierdzenie Lapunowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Lapunowa – twierdzenie teorii miar wektorowych głoszące, że obraz bezatomowej miary wektorowej o wartościach w rzeczywistej przestrzeni euklidesowej jest wypukły i zwarty. Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w roku 1940 przez radzieckiego matematyka Aleksjeja Lapunowa[1] doczekało się wielu nowych dowodów, z których najbardziej znany pochodzi z pracy Jorama Lindenstraussa z roku 1966[2]. Mimo prostoty samego twierdzenia, każdy jego dowód jest nieefektywny (tzn. odwołuje się do pewnej wersji aksjomatu wyboru). W dowodzie Lindenstraussa wykorzystuje się tak silne wyniki jak twierdzenie Banacha-Alaoglu czy twierdzenie Kreina-Milmana.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Lapunowa można sformułować korzystając jedynie z pojęć klasycznej teorii miary. Niżej znajduje się jedna z popularniejszych jego wersji przedstawiona w tym duchu:

Niech (\Omega, \mathcal{A}) będzie przestrzenią mierzalną, to znaczy niech \mathcal{A} oznacza σ-ciało określone na zbiorze \Omega oraz niech \mu_1,\ldots, \mu_n będą skończonymi i bezatomowymi miarami na \mathcal{A}. Wówczas obraz funkcji \mu danej wzorem
\mu(A)=(\mu_1(A), \ldots, \mu_n(A)),\, A\in \mathcal{A}
jest zwartym i wypukłym podzbiorem przestrzeni \mathbb{R}^n.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Lapunow, Aleksjej. Sur les fonctions-vecteurs completement additives, Bull. Acad. Sci. URSS, 4 (1940), ss. 465-478
  2. Lindenstrauss, Joram. A short proof of Liapounoff's convexity theorem. J. Math. Mech. 15 (1966), ss. 971-972.