Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty niebędące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu.

Oznaczenia i pojęcia wstępne

Niech $Z$ będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitalego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech $F$ będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze $Z$ i przyjmującą wartości w zbiorze ${\overline {\mathbb {R} }}$ oraz punkt $x_{0}\in Z.$ Niech dany będzie również zbiór

$W=\{y\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \,y=\lim _{n\to \infty }F(Q_{n}),\,(Q_{n})_{n\in \mathbb {N} }\},$

gdzie $(Q_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze $Z$ takich, że $x\in Q_{n}\,n\in \mathbb {N}$ oraz

$\lim _{n\to \infty }d(Q_{n})=0.$

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni ${\overline {\mathbb {R} }}.$

Kres dolny i górny zbioru $W$ oznaczamy odpowiednio

$\liminf _{Q\to x_{0}}F(Q)$ oraz $\limsup _{Q\to x_{0}}F(Q).$

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $W$ jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

$\lim _{Q\to x_{0}}F(Q).$

Punkty gęstości

Punkt $x\in \mathbb {R} ^{N}$ nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru $E\subseteq \mathbb {R} ^{N}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim _{Q\to x}{\frac {l_{N}(E\cap Q)}{l_{N}(Q)}}=1,$

gdzie $l_{N}$ oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’a

Jeśli $E$ jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1975, s. 155.