Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Henri Lebesgue

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,\mathcal{F},\mu)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n:X\longrightarrow {\mathbb R}$ (dla $n\in {\mathbb N}$) jest funkcją mierzalną,

(c) dla pewnej funkcji całkowalnej $g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ mamy, że $|f_n(x)|\leqslant g(x)$ dla wszystkich $x\in X$ i $n\in {\mathbb N}$,

(d) dla wszystkich $x\in X$ istnieje granica $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$; niech funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie zdefiniowana przez

$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ dla $x\in X$.

Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz

$\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0$   i   $\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego $x$.

Szkic dowodu

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że f jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. oraz $|f(x)|\leqslant g(x)$ (dla wszystkich $x\in X$), a stąd f jest całkowalna. Zauważmy, że $|f_n(x)-f(x)|\leqslant 2g(x)$ (dla każdego x), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji $h_n=2g-|f_n-f|\$.

Ponieważ $2g(x)=\lim\limits_{n\to\infty}h_n(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}h_n(x)$, to otrzymujemy wówczas, że

$\begin{align} \int 2g\ d\mu&\leqslant\liminf\limits_{n\to\infty}\int h_n\ d\mu=\\ &=\liminf\limits_{n\to\infty}\int 2g-|f_n-f|\ d\mu=\\ &=\int 2g\ d\mu+\liminf\limits_{n\to\infty}\left(-\int |f_n-f|\ d\mu\right)=\\ &=\int 2g\ d\mu-\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right) \end{align}$

Stąd już wnioskujemy że $\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\int |f_n-f|\ d\mu\right)=0$, a zatem $\lim\limits_{n\to\infty}\int |f_n-f|\ d\mu=0$. Ponieważ $\left|\int f_n-f\ d\mu\right|\leqslant\int |f_n-f|\ d\mu$, to możemy też wywnioskować, że $\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.

Przykład

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek $(0,1)$ wyposażony w miarą Lebesgue’a λ. Dla liczby naturalnej $n\in {\mathbb N}$ zdefinujmy funkcję $f_n:(0,1)\longrightarrow {\mathbb R}$ przez

$f_n(x) = \left\{\begin{matrix} n & \mbox{gdy} \quad x\in \left(0,\frac{1}{n}\right] \\ 0 & \mbox{gdy} \quad x\in \left(\frac{1}{n},1\right)\end{matrix}\right.$

Wtedy $f_n(x) \to 0$ dla $x \in (0,1)$, natomiast $\int f_n\;d\lambda = n\lambda\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right) = n \frac{1}{n} =1 \not\to 0=\int 0\;d\lambda$.

A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• lemat Fatou
• twierdzenie Fubiniego

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998. ISBN 978-83-01-15801-9.
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.