Twierdzenie Menelaosa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Menelaos's theorem 1.png

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już wcześniej. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Treść[edytuj | edytuj kod]

Menelaos's theorem 2.png

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta \triangle ABC i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty D, E, F w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|.

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

A \to E \to C \to D \to B \to F \to A skrótowo zapisywane zwykle jako {}^A{}_E{}^C{}_D{}^B{}_F{}^A,

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

\frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CD|}{|DB|} \cdot \frac{|BF|}{|FA|} = 1.

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Menelaos's theorem proof.png

Niech X będzie przecięciem prostej równoległej do AC przechodzącej przez punkt B z poprzeczną. Trójkąty \triangle XBF i \triangle EAF są podobne. Z twierdzenia Talesa:

\frac{|BX|}{|AE|} = \frac{|BF|}{|FA|} czyli |XB|=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot |AE|

Trójkąty \triangle CED i \triangle BXD są podobne. Zatem jest:

\frac{|CE|}{|XB|} = \frac{|DC|}{|DB|} czyli \frac{1}{|XB|}=\frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{1}{|CE|}

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

1=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|AE|}{|CE|},

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty D, E, F leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach AB i BC trójkąta \triangle ABC dane są punkty E i D, a na przedłużeniu boku AC punkt F tak, że:
|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|,
to punkty D, E, Fwspółliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty D, E, F leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE| (1)

oraz D, E leżą na bokach trójkąta, zaś F na prostej AB poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt F' \ne F, że D, E, F' są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF'| = |BD| \cdot |AF'| \cdot |CE|.

Zatem dla dwóch różnych punktów F, F' leżących na prostej AB poza odcinkiem AB zachodzi

\frac{|AF'|}{|BF'|}=\frac{|AF|}{|BF|},

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty D, E, F spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

Twierdzenie Menelaosa dla czworościanu [1][edytuj | edytuj kod]

Niech A', B', C', D' oznaczają punkty przecięcia pewnej płaszczyzny z krawędziami czworościanu ABCD leżące odpowiednio na odcinkach AB, BC, CD, DA. Wówczas zachodzi równość:

\frac{AA'}{A'B} \frac{BB'}{B'C} \frac{CC'}{C'D} \frac{DD'}{D'A} = 1

Dowód polega na zrzutowaniu wierzchołków czworościanu na przecinającą go płaszczyznę, skorzystania z podobieństwa par trójkątów prostokątnych złożonych z wierzchołków leżących na danej krawędzi, ich rzutów i punktu przecięcia krawędzi i płaszczyzny, a następnie pomnożenia uzyskanych równości tak by po jednej stronie uzyskać wyrażenie z tezy.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

\frac{AA'}{A'B} \frac{BB'}{B'C} \frac{CC'}{C'D} \frac{DD'}{D'A} = 1,

to punkty A', B', C', D' leżą na jednej płaszczyźnie, jest również prawdziwe.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza "Tutor", 2003. ISBN 83-86007-63-X.