Twierdzenie Mihăilescu

Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) - twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu w 2002 roku, będące wcześniej hipotezą, która została postawiona w 1844 roku przez Eugène Charlesa Catalana.

Twierdzenie

Równanie

$a^x-b^y=1\,$

gdzie $a,x,b,y$ są liczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie: $a=3$, $x=2$, $b=2$, $y=3$.

Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest $8=2^3$ i $9=3^2.$

Przypadek szczególny

Jedynym rozwiązaniem równania postaci $2^a=(2k+1)^b\pm1$, gdzie $a>1,\ b>1,\ k>0$ jest $k=1,\ a=3,\ b=2$ (np. $2^3=3^2-1$).