Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego \vec a.

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza[edytuj | edytuj kod]

Niech V \subset \mathbb R^3 będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą S, a P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z) będą funkcjami posiadającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V. Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

\iint\limits_S (P\; dy dz + Q\; dz dx + R\; dx dy) = \iiint\limits_V \left( {\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z} \right)\; dx dy dz

Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni S.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech \bar{V}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \, \colon \, (x,y)\in \bar{D} \wedge z \in [g_1(x,y),g_2(x,y)]\} dla D - rzutu V na płaszczyznę XOY.

Podzielmy powierzchnię S na trzy części S_1, S_2, S_3 takie, że:

S_1=\{(x,y,g_1(x,y))\colon (x,y)\in D\}
S_2=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D \wedge z \in [g_1(x,y),g_2(x,y)]\} (gdzie \partial D oznacza brzeg obszaru D)
S_3=\{(x,y,g_2(x,y))\colon (x,y)\in D\}

Ale dla S_2 trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla S_1 wektor normalny ma postać \pm \left[\frac{\partial g_1}{\partial x}, \frac{\partial g_1}{\partial y}, -1\right]. Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni S. Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi -1. Analogicznie dla powierzchni S_3 wektor normalny wynosi \left[-\frac{\partial g_2}{\partial x}, -\frac{\partial g_2}{\partial y}, 1\right].

Weźmy składową R pola wektorowego. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:

\iint\limits_S Rdx \, dy = \iint\limits_{S_1} Rdx \, dy + \iint\limits_{S_3} Rdx \, dy = \iint\limits_D R(x,y,g_2(x,y)) dx \, dy - \iint\limits_D R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy =
= \iint\limits_D (R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:

\iiint\limits_V \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) dx \, dy \, dz = \iint\limits_D dx \, dy \int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) dz

Dalej stosując Twierdzenie Newtona-Leibniza otrzymujemy:

\iiint\limits_V \frac{\partial R}{\partial z} dx \, dy \, dz = \iint\limits_D (R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy

Dowody dla składowych P i Q są analogiczne.
A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej:

Niech zatem \vec A będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości V=[x,y,z]:

\iint\limits_S \vec{\mathbf A}\cdot d \vec{\mathbf S} = \iiint\limits_V~\operatorname{div} \vec{\mathbf A}\; dx dy dz

gdzie \vec{\mathbf S} jest wektorem powierzchni. Można to zapisać prościej:

\int\limits_S \vec {\mathbf A}\cdot d \vec{\mathbf S} = \int\limits_V \left(\nabla \cdot \vec {\mathbf A} \right)\; dV

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]