Twierdzenie Parsevala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Parsevala[1] – w matematyce tożsamość[2], która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799[3] roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela[4].

Opis twierdzenia Parsevala[edytuj | edytuj kod]

Mając dane dwie funkcje A(x) i B(x), które są całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue'a) o wartościach zespolonych nad R z okresem 2π i szeregiem Fouriera

A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}

i

\,B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}

to zachodzi

\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx

gdzie i oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem to sprzężenie zespolone.

Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za B(x) jest podstawione A(x)[5].

Zapis stosowany w inżynierii i fizyce[edytuj | edytuj kod]

W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:

\int_{-\infty}^{\infty} | x(t) |^2 dt   =   \int_{-\infty}^{\infty} | X(f) |^2 df

gdzie X(f) = \mathcal{F} \{ x(t) \} przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z x(t) a f przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w x.

Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale x(t) w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości f.

Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] |^2  =  \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} | X(e^{i\phi}) |^2 d\phi

gdzie X jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z x a Φ oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w x.

Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:

 \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2  =   \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2

gdzie X[k] to DFT z x[n], oraz obie tablice są o długości N.

Przypisy

  1. Marc-Antoine Parseval des Chênes. Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants. „Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savans étrangers.)”. 1, 1806. 
  2. Łysik 2007 ↓, s. 22-23.
  3. Artykuł był przedstawiony przed Francuską Akademią Nauk w Paryżu 5 kwietnia 1799.
  4. Michel Plancherel. Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 30, s. 298-335, 1910. 
  5. Szabatin 2005 ↓, s. 72.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]