Twierdzenie Pascala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja przypadku twierdzenia dla okręgu.

Twierdzenie Pascala – twierdzenie geometryczne udowodnione przez Blaise'a Pascala w wieku 16 lat[1].

Twierdzenie to jest dualne w geometrii rzutowej do twierdzenia Brianchona (co oznacza, że twierdzenia te są równoważne). Najbardziej elementarny dowód twierdzenia Pascala wykorzystuje twierdzenie Menelaosa. Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pappusa.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będzie sześć punktów A1, A2, A3, A4, A5, A6 leżących na krzywej stożkowej, zaś B1, B2, B3 oznaczają punkty przecięcia odpowiednio prostych A1A2 oraz A4A5, A1A6 oraz A3A4, A2A3 oraz A5A6. Wówczas punkty B1, B2, B3współliniowe.

W szczególności, dla każdego sześciokąta wpisanego w krzywą stożkową trzy punkty będące przecięciami jego przeciwległych boków leżą na jednej prostej.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

W ogólności dotyczy ono stożkowych, jednak ponieważ przekształcenia rzutowe zachowują współliniowość punktów, to tezę można sprowadzić do przypadku, gdy krzywa stożkowa jest okręgiem.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

August Ferdinand Möbius w 1847 roku uogólnił twierdzenie Pascala do postaci:

Niech dane będzie dla wielokąta o \scriptstyle 4n + 2 bokach wpisanego w krzywą stożkową \scriptstyle 2n + 1 punktów będących przecięciami par przeciwległych boków. Jeżeli \scriptstyle 2n z tych punktów leży na jednej prostej, to pozostały punkt również leży na tej prostej.

Przypisy

  1. Jacques Attali Pascal, Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 2004, ISBN 83-06-02935-6, s. 53