Twierdzenie Phragména-Lindelöfa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Phragména-Lindelöfa – niech dana będzie funkcja ciągła f(z) o argumentach zespolonych oraz ograniczona dla argumentów zawartych w przedziale \alpha \leqslant a \leqslant \beta i holomorficzna wewnątrz tegoż przedziału. Jeśli dla a\ =\ \alpha i a\ =\ \beta istnieje takie M, że zachodzi |f(z)|\leqslant M, to \forall _{z\in <\alpha ,\beta>}:|f(z)|\leqslant M.

Jeżeli ponadto \exists_{q\in <\alpha ,\beta>}:|f(q)|\ =\ M to f jest funkcją stałą.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

  • Załóżmy, że f(a\ +\ b\cdot i)\to 0 jednostajnie dla b dążącego do +/- \infty dla z\in <\alpha ,\beta >. Niech q\ =\ a_q \ +\ b_q\cdot i \in <\alpha ,\beta> . Wtedy \exists_{m>|b_q|} \forall_{|b|\geqslant m} \exists_{a\in <\alpha ,\beta>}:\ |f(a\ +\ b\cdot i)|\leqslant M. Niech \! P będzie wnętrzem prostokąta wyznaczonego przez zbiór:
Pr\ =\ \{a\ +\ b\cdot i\ :\ \alpha \leqslant a \leqslant \beta \ \and \ -m\leqslant b\leqslant m\}

Jeżeli funkcja f jest stała, to twierdzenie jest w oczywisty sposób prawdziwe. W przeciwnym przypadku f nie jest stała w <\alpha ,\beta>, wtedy nie może być stała w P, i na podstawie zasady maksimum f nie osiąga kresu górnego w P. Ponieważ |f(z)| jest ciągła w Pr, to |f(z)| osiąga swój kres górny w Pr. Punkt w którym osiąga ona swój kres górny, nie może należeć do P, a ponieważ |f(z)|\leqslant M na bokach prostokąta Pr, więc |f(z)<M w P, w szczególności \! |f(q)|<M.

  • Niech \! f_n(z)\ =\ f(z)\cdot \exp ^{z^{\frac{2}{n}}}\ =\ f(z)\cdot \exp ^{\frac{a^2+b^2}{n}} \cdot \exp ^{\frac{2\cdot i\cdot a\cdot b}{n}} dla \! n=1,2,/cdots .

będzie funkcją. Jest ona ciągła oraz ograniczona i holomorficzna w <\alpha ,\beta> . Dodatkowo dla x\ =\ \alpha i x\ =\ \beta zachodzi:

|f_n(z)|\ =\ |f(z)|\cdot \exp ^{\frac{a^2+b^2}{n}} \leqslant |f(z)|\cdot \exp ^{\frac{\delta ^2}{n}} dla \! \delta\ =\ \max(|\alpha |,|\beta |).

Ponadto, jeżeli W jest stałą wartością ograniczającą f(z) w  <\alpha ,\beta> , to przy y\to +/- \infty jednostajnie dla a\in <\alpha ,\beta> zachodzi:

|f_n(a\ +\ b\cdot i |\leqslant |f( a\ +\ b\cdot i )\cdot \exp ^{\frac{\delta ^2}{n}} \cdot \exp ^{\frac{-b ^2}{n}}\leqslant W\cdot \exp ^{\frac{\delta ^2}{n}} \cdot \exp ^{\frac{-b ^2}{n}}\to 0.

A więc \! f_n(z) spełnia założenia pierwszej części dowodu.

Jeżeli q\in  <\alpha ,\beta> , to |f_n(q)| < M\cdot \exp^{\frac{\delta^2}{n}}. Przy n \to \infty |f(q)\leqslant M. Jeżeli |f(q)|=M, to biorąc otoczenie G' punktu q, leżące wewnątrz <\alpha, \beta >, otrzymuje się f(z)|\leqslant M dla z\in G'. Po zastosowaniu zasady maksimum dla obszaru G otrzymuje się wniosek, że f jest stała w G. Ponieważ G' \in <\alpha, \beta >, więc f jest stała w \! <\alpha, \beta >.