Twierdzenie Picarda

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy'ego.

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Uogólnienie na przestrzenie Banacha
- 2.1 Lokalny warunek Lipschitza
- 2.2 Twierdzenie Picarda
3 Bibliografia
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

Twierdzenie [edytuj]

Załóżmy, że $\Omega\subseteq {\mathbb R}\times {\mathbb R}$ jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja $f:\Omega\longrightarrow {\mathbb R}$ jest ciągła na zbiorze $\Omega$ i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. (Tak więc, dla pewnej stałej L mamy, że

$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leqslant L|y_1-y_2|$

ilekroć $(x,y_1),(x,y_2)\in \Omega$ .) Niech $(x_0,y_0)\in\Omega$ . Wówczas dla pewnego $\delta>0$ , zagadnienie początkowe

$y'=f(x,y)$

$y(x_0)=y_0$

ma dokładnie jedno rozwiązanie $y=\varphi(x)$ określone na przedziale $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ .

Uogólnienie na przestrzenie Banacha [edytuj]

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek Lipschitza [edytuj]

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $D\subseteq \mathbb{R}\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja $f\colon D\to Y$ spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze $D$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt $(x_0, u_0)\in D$ ma otoczenie, na którym $f$ spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.