Twierdzenie Picarda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy'ego.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że \Omega\subseteq {\mathbb R}\times {\mathbb R} jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja f:\Omega\longrightarrow {\mathbb R} jest ciągła na zbiorze \Omega i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. (Tak więc, dla pewnej stałej L mamy, że

|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leqslant L|y_1-y_2|

ilekroć (x,y_1),(x,y_2)\in \Omega.) Niech (x_0,y_0)\in\Omega. Wówczas dla pewnego \delta>0, zagadnienie początkowe

y'=f(x,y)
y(x_0)=y_0

ma dokładnie jedno rozwiązanie y=\varphi(x) określone na przedziale (x_0-\delta,x_0+\delta).

Uogólnienie na przestrzenie Banacha[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek Lipschitza[edytuj | edytuj kod]

Niech Y będzie przestrzenią unormowaną oraz D\subseteq \mathbb{R}\times Y będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja f\colon D\to Y spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt (x_0, u_0)\in D ma otoczenie, na którym f spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Twierdzenie Picarda[edytuj | edytuj kod]

Niech Y będzie przestrzenią Banacha oraz D\subseteq \mathbb{R}\times Y będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja f\colon D\to Y jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze D, to

  • każde rozwiązanie równania u^\prime=f(x,u) daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
  • każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
  • dla każdego punktu (x_0, u_0)\in D istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy u(x_0)=u_0.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979, s. 193-196.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]