Twierdzenie Plancherela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Plancherela to twierdzenie z zakresu analizy harmonicznej, udowodnione przez Michela Plancherela w 1910 roku[1]. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie F : L^2 \rightarrow L^2 o następujących własnościach:

  • dla  f \in L^1 \cap L^2 , jest F(f) = \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx
  • dla dowolnej  f jest \|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2
  •  F jest izometrią przestrzeni  L^2 na siebie
  • jeśli \varphi_A(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx oraz \vartheta_A(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A \hat{f}(x)\, e^{i \omega x}\, d \omega,

to \|\varphi_A - \hat{f} \|_2 \rightarrow 0 oraz \|\vartheta_A - f \|_2 \rightarrow 0 przy  A \rightarrow \infty

Przekształcenie  F określa transformatę Fouriera (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni L^2. Na podprzestrzeni L^1 \cap L^2 jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą  L^2 .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1996. ISBN 83-01-05124-8.
  2. Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, pages 298-335