Twierdzenie Plancherela

Twierdzenie Plancherela to twierdzenie z zakresu analizy harmonicznej, udowodnione przez Michela Plancherela w 1910 roku. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie $F : L^2 \rightarrow L^2$ o następujących własnościach:

• dla $f \in L^1 \cap L^2$, jest $F(f) = \hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx$
• dla dowolnej $f$ jest $\|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2$
• $F$ jest izometrią przestrzeni $L^2$ na siebie
• jeśli $\varphi_A(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A f(x)\, e^{-i \omega x}\, dx$ oraz $\vartheta_A(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A \hat{f}(x)\, e^{i \omega x}\, d \omega$,

to $\|\varphi_A - \hat{f} \|_2 \rightarrow 0$ oraz $\|\vartheta_A - f \|_2 \rightarrow 0$ przy $A \rightarrow \infty$

Przekształcenie $F$ określa transformatę Fouriera (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni $L^2$. Na podprzestrzeni $L^1 \cap L^2$ jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą $L^2$.

Bibliografia

1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1996. ISBN 83-01-05124-8. 
2. Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. 

Zobacz też

• przestrzeń Lp