Twierdzenie Poyntinga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Poyntinga - zasada zachowania energii dla pola elektromagnetycznego, którą sformułował John Henry Poynting badając bilans pola elektromagnetycznego prądów zmiennych.

Całkowita moc pola elektromagnetycznego wykonanym nad ładunkiem przez siły Lorentza (właściwie przez pole elektryczne – pole magnetyczne nie wykonuje pracy) jest równa:

{{dW}\over{dt}}=\int_V\left(\vec{E}\cdot\vec{J}_{sw}\right)dV

gdzie:

\vec{E} – wektor natężenia pola elektrycznego,
\vec{J}_{sw} – wektor gęstości prądu elektrycznego swobodnego.
{{dW}\over{dt}}moc wykonana nad ładunkiem w polu elektromagnetycznym, która jest zmianą energii mechanicznej na jednostkę czasu, w którym ta zmiana nastąpiła.

Korzystając z praw elektrodynamiki klasycznej Maxwella, ostatnie wyrażenie można rozpisać w postaci:

{{dW}\over{dt}}=-{{d}\over{dt}}\int_v{{1}\over{2}}\left(\vec{E}\vec{D}+\vec{H}\vec{B}\right)dV-\oint_A\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)d\vec{A}

Oznaczmy gęstość energii pola elektromagnetycznego w danym punkcie:

u_{em}={{1}\over{2}}\left(\vec{H}\vec{B}+\vec{E}\vec{D}\right),

Mając już zdefiniowaną gęstość energii pola elektromagnetycznego w danym punkcie i korzystając z definicji wektora Poyntinga i twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, mamy:

{{dW}\over{dt}}={{d}\over{dt}}\int_V u_{em}dV-\int_V\nabla\cdot\vec{S}dV=\int_V{{\partial}\over{\partial t}}u_{em}dV-\int_V\nabla\cdot\vec{S}dV,

gdzie:

u_{em} – gęstość energii mechanicznej.

Zatem wzór na moc wykonaną nad ładunkiem przez siły Lorentza, powodując zmianę energii mechanicznej ciała, wtedy z definicji mocy układu mechanicznego jest równa:

{{dW}\over{dt}}={{d}\over{dt}}\int_V u_{mech}dV=\int_V{{\partial}\over{\partial t}}u_{mech}dV

A zatem nasze równanie przyjmuje postać:

\int_V{{\partial}\over{\partial t}}u_{mech}dV=\int_V {{\partial}\over{\partial t}}u_{em}dV-\int_V\left(\nabla\vec{S}\right)dV

gdzie:

u_{mech} – gęstość energii mechanicznej układu w danym punkcie.

Po krótkich przegrupowaniach wyrazów w ostatnim równaniu, mamy zatem:

\int_V{{\partial}\over{\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)dV=-\int_V\left(\nabla\cdot\vec{S}\right)dV

Ponieważ ostatnie równanie jest słuszne dla dowolnej objętości V, zatem otrzymujemy:

{{\partial}\over{\partial t}}\left(u_{mech}+u_{em}\right)=-\nabla\cdot\vec{S}

Ostatnie równanie stanowi treść twierdzenia Poytinga dla elektromagnetyzmu w ośrodku. Gdy mamy do czynienia z magnetostatyką lub elektrostatyką, to wektor Poytinga jest równy zero, lub \vec{E}||\vec{H}

Widzimy, że pole elektromagnetyczne ma również energię o wartości:

E=\int_V\vec{u}_{em}dV.

Oczywiste jest, że zmiana gęstości energii mechanicznej i pola elektromagnetycznego, zależy od dywergencji wektora Poyntinga, który stanowi jakoby gęstość pracy sił wykonaną nad polem elektromagnetycznym i układem mechanicznym.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Dawid J. Grifftiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: PWN, 2006.