Twierdzenie Ptolemeusza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie w geometrii klasycznej, opisującej zależność pomiędzy bokami a przekątnymi czworokąta wpisanego w okrąg. Jego sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi, astronomowi i matematykowi starożytnemu. Twierdzenie to pojawia się w dziele Almagest [1].

Wypowiedź twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

W dowolnym czworokącie ABCD\, wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków[2][3]:
|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|.
(1)

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:

Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Dowód geometryczny[edytuj | edytuj kod]

Ptolemy's theorem.svg

Weźmy dowolny czworokąt ABCD\, wpisany w okrąg. Umieśćmy punkt K\, na przekątnej AC\, tak, że półprosta BK\, przecina przekątną AC\, tak, aby \angle ABD = \angle KBC. W wyniku tego otrzymaliśmy trójkąty \Delta ABD\, i \Delta KBC\,.

Z konstrukcji wynika, że \angle ABD = \angle KBC oraz \angle ADB = \angle KCB, ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty \Delta ABD\, i \Delta KBC\, są więc podobne, dzięki czemu otrzymujemy

|KC| : |AD| = |BC| : |BD|\,,

skąd

|KC| \cdot |BD| = |AD| \cdot |BC|.
(2)

Trójkąty \Delta ABK\, i \Delta DBC\,, mające równe kąty \angle ABK i \angle DBC oraz kąty \angle BAC i \angle BDC (kąty wpisane oparte na tym samym łuku) są do siebie podobne. Odpowiednie boki są więc do siebie proporcjonalne:

|AK| : |DC| = |AB| : |BD|\,,

a zatem

|AK| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC|.
(3)

Sumując ze sobą równości (2) oraz (3), otrzymujemy

|AK| \cdot |BD| + |KC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|,

co w konsekwencji daje

(|AK| + |KC|) \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|

i ostatecznie

|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|,

co należało wykazać.

Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie[3][4]. Załóżmy, że w czworokącie ABCD zachodzi (1). Znajdźmy taki punkt K, spełniający warunki

\angle ABK = \angle DBC oraz \angle BAK = \angle BDC.

Dzięki temu wnioskujemy, że trójkąty \Delta DBC\, oraz \Delta ABK\, są podobne i zachodzi

\frac{|AB|}{|DB|}=\frac{|BK|}{|BC|}=\frac{|AK|}{|CD|}.

Z drugiej strony, ponieważ \angle ABK=\angle DBC oraz

\frac{|AB|}{|DB|}=\frac{|BK|}{|BC|}

trójkąty \Delta ABD\, i \Delta KBC są do siebie podobne.

Dzięki temu wnioskujemy, że zachodzą (2) oraz (3). Łącząc je, otrzymujemy

(|AK| + |KC|) \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|

Z założenia wynika jednak, że (|AK| + |KC|) =|AC|, co oznacza, że punkt K leży na odcinku |AC|. Ale wtedy

\angle BAK = \angle=BAC = \angle BDC,

co oznacza, że wierzchołki  A i  D leżą na tym samym okręgu, co B i C

Dowód trygonometryczny[edytuj | edytuj kod]

Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Każdy inny przypadek można sprowadzić do tego poprzez odpowiednie przekształcenia: translację i skalowanie. Każdy z wierzchołków \,P_1, \ldots,P_4\, czworokąta można wtedy przedstawić w postaci

P_i=(\,\cos\alpha_i,\sin\alpha_i \,)\text{ where }\alpha_i \in \,[\,0,2\pi).\,

gdzie \alpha_i jest kątem pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem P_i. Możemy również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do obiegu wskazówek zegara, tzn. zachodzi

\,\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 <\alpha_4\,.

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych  x=(\,\cos\alpha,\sin\alpha 
\,) and y=(\,\cos\beta,\sin\beta\,), to ich odległość euklidesowa wynosi

||x-y||=\sqrt{2-2\cos(|\alpha-\beta|)}=2\sin\left({{|\alpha-\beta|}\over 2}\right).

Jeśli (P_i,P_j),\;\; i<j jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to wzór ten przyjmuje postać

|P_i P_j|=2\sin\left({\alpha_j\over 2}-{\alpha_i \over 2}\right).

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza

|P_1P_3|\cdot |P_2P_4|=|P_1P_2|\cdot 
|P_3P_4|+|P_1P_4|\cdot |P_2P_3|

przyjmie wtedy postać


\sin\left({\alpha_3\over 2}-{\alpha_1 \over 2}\right)\sin\left({\alpha_4\over 2}-{\alpha_2 \over 2}\right)
=\sin\left({\alpha_2\over 2}-{\alpha_1 \over 2}\right)\sin\left({\alpha_4\over 2}-{\alpha_3 \over 2}\right)+
\sin\left({\alpha_4\over 2}-{\alpha_1 \over 2}\right)\sin\left({\alpha_3\over 2}-{\alpha_2 \over 2}\right).

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów

\sin\alpha\sin\beta={1\over2} \left( \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right).

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co będzie dowodziło jej prawdziwości.

Dowód przy użyciu inwersji[edytuj | edytuj kod]

Podczas inwersji trzech wierzchołków czworokąta wpisanego przez okrąg przechodzący przez pozostały, czwarty wierzchołek, ich obrazy są współliniowe.

Rozpatrzmy czworokąt ABCD opisany na okręgu O[5][6]. Przekształćmy punkty B, C oraz D poprzez inwersję względem nowego okręgu O_1 o środku w punkcie A i pewnym promieniu r. Jako, że punkty te leżą na okręgu O, który przechodzi przez środek okręgu O_1, ich obrazy B',C' i D'będą współliniowe[7]. Wynika z tego, że

|B'C'|+|C'D'|=|B'D'|.
(4)

Zauważmy teraz, że jeśli dwa punkty P i Q zostaną przekształcone przez inwersję względem okręgu o promieniu r, to zachodzić będzie[6]

Parser nie mógł rozpoznać (błędna nazwa): |P'Q'| = \frac{r^2·|PQ|}{|OP|·|OQ|}

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków |B'C'|, |C'D'| i |D'B'| otrzymamy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja '\begin'): \begin{align*} |B'C'| &= \frac{r^2·|BC|}{|AB|·|AC|},\\ |C'D'| &= \frac{r^2·|CD|}{|AC|·|AD|},\\ |D'B'| &= \frac{r^2·|DB|}{|AD|·|AB|}. \end{align*}
(5)

Po wstawieniu tych równości do wzoru (4), otrzymamy

Parser nie mógł rozpoznać (błędna nazwa): \frac{|BC|}{|AB|·|AC|}+\frac{|CD|}{|AC|·|AD|}=\frac{|DB|}{|AD|·|AB|},


z której po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wynika teza.

Powyższe rozumowanie jest jednocześnie dowodem twierdzenia odwrotnego: jeśli założymy, że w czworokącie ABCD zachodzi zależność (1) i ponownie wykonamy inwersję punktów B, C i D względem pewnego okręgu o środku w A, to otrzymamy równość (4), z której wynika, że punkty B', C' i D' są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty B,C i D będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez A, co czyni je współokręgowymi.

Uogólnienia i wnioski[edytuj | edytuj kod]

Nierówność Ptolemeusza[edytuj | edytuj kod]

Jeśli trzy wierzchołki czworokąta nie będą współokręgowe, ich obrazy względem inwersji przez okrąg przechodzący przez czwarty wierzchołek nie będą współliniowe.

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie[8][6]:

Jeśli ABCD jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność
|AC| \cdot |BD| \leq |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|,
(10)
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt ABCD jest opisany na okręgu.

Dowód powyższej nierówności opiera się o inwersję[5] i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako, że punkty B,C i D nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy niekoniecznie współliniowe punkty B', C' i D'. Punkty te będą spełniały nierówność trójkąta

|B'C'|+|C'D'|\geq |B'D'|,

przy czym równość w niej zachodzić będzie, gdy punkty te będą współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów (5) i analogicznych przekształceniach otrzymamy nierówność (10).

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, zachodzącego w dowolnym czworokącie ABCD[3]:

Parser nie mógł rozpoznać (błędna nazwa): |AC|^2 \cdot |BD|^2=|AB|^2\cdot |CD|^2+|BC|^2\cdot |AD|^2- −2|AB|\cdot|CD|\cdot|BC|\cdot|AD|\cos(\angle A+\angle C)

Gdy czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, to suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego i ostatni składnik sumy znika.

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H.S.M. Coxeter: Introduction to geometry (Wstęp do geometrii dawnej i nowej). Ryszard Krasnodębski (tłum.). Wyd. II. John Wiley & Sons Inc., 1961.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • Dan Pedoe: Circles: A Mathematical View. The Mathematical Association of America, 1995.
  • Klaudiusz Ptolemeusz: Almagest., księga I, rozdział X