Twierdzenie Rao-Blackwella

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Rao-Blackwella:

Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech L(a,\theta) będzie wypukłą funkcją parametru a, dla każdego ustalonego \theta ze zbioru parametrów. Niech T będzie statystyką dostateczną a d pewną regułą decyzyjną wtedy d_0 = E(d |T ) jest regułą decyzyjną zależną tylko od T i nie gorszą od d.

Dowód:

Lemat:

Niech C będzie zbiorem wypukłym, a Z zmienną losową taką, że P(Z \in C) =1 wtedy EZ \in C o ile istnieje.

A jest zbiorem wypukłym, a więc d_0 \in A czyli d_0 jest regułą decyzyjną.

T jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od \theta.

R(d, \vartheta) = E L(d,\vartheta) = E[E(L(d,\vartheta)|T] \geqslant E[L(E(d|T),\vartheta)] =
E(d_0,\vartheta) = R(d_0,\vartheta)

Co kończy dowód.

Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna