Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Riemannatwierdzenie w analizie matematycznej autorstwa Berharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech

\left( a_1, \ a_2, \ a_3, \dots \right)

będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że szereg \textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n jest warunkowo zbieżny. Ponadto, niech M będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka permutacja σ zbioru liczb naturalnych, że

\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M.

Istnieje również taka permutacja σ, że

\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \pm\infty..

Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech (m_n), (m'_n) będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do M odpowiednio z dołu i z góry, tzn. m_n < M i m'_n > M (można przyjąć m_n = M - 1/n oraz m'_n = M + 1/n). Oznaczmy ponadto

p_n = \tfrac{|a_n|+a_n}{2}, \ q_n = \tfrac{|a_n|-a_n}{2}.

Zauważmy, że ciąg (p_n) powstaje z ciągu (a_n) przez zastąpienie wyrazów < 0 zerami. Analogicznie, ciąg (q_n) powstaje z ciągu (a_n) przez zastąpienie wyrazów < 0 ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów > 0 zerami. Oczywiście wszystkie wyraz p_n, q_n są nieujemne, a szeregi \sum p_n, \sum q_n są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg \sum |a_n| = \sum (p_n + q_n), co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg \sum a_n, gdyż a_n = p_n - q_n.

Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu (a_n) przez (P_n), a wartości bezwzględne wyrazów ujemnych przez (Q_n) (w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu (a_n)). Wtedy szeregi \sum P_n oraz \sum Q_n są równe szeregom \sum p_n oraz \sum q_n z dokładnością do wyrazów równych 0, a zatem są oba rozbieżne.

Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne i_1 oraz j_1 w taki sposób, aby

P_1 + P_2 + \ldots + P_{i_1} > m_1 i P_1 + P_2 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - Q_2 - \ldots - Q_{j_1} < m'_1.

Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów \sum P_n, \sum Q_n. Następnie dla danych liczb i_n, j_n określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby i_{n+1} > i_n, j_{n+1} > j_n, tak aby

P_1 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - \ldots - Q_{j_1} + \ldots + P_{i_n+1} + \ldots  + P_{i_{n+1}} > m_{n+1}

oraz

P_1 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - \ldots - Q_{j_1} + \ldots + P_{i_n+1} + \ldots + P_{i_{n+1}} - Q_{j_n+1} - \ldots - Q_{j_{n+1}} < m'_{n+1}.

Otrzymujemy w ten sposób szereg

(*) P_1 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - \ldots - Q_{j_1} + \ldots + P_{i_{n-1}} + \ldots + P_{i_{n}} - Q_{j_{n-1}} - \ldots - Q_{j_{n}} + \ldots,

który jest szeregiem powstałym z \sum a_n przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie P_{i_n} przez \tau_n. Zauważmy ponadto, że P_n \to 0, gdy n \to \infty na mocy zbieżności szeregu \sum a_n. Ponieważ |\tau_n - m_n| \leqslant P_n, to \tau_n \to M, tzn. M jest punktem skupienia ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy'ego (m_n - m'_n \to 0, gdy n \to \infty). To kończy dowód.

Przypadek \pm\infty jest całkowicie analogiczny.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Szereg

1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty~{(-1)^{n+1} \over n},

nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do \ln 2 na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich

1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \dots,

jak i szereg składników ujemnych \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{8} + \dots są rozbieżne do +\infty.

Oznaczmy sumę jego wyrazów przez S. Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:

S = (1 - \tfrac{1}{2}) + (\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4}) + (\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{6}) + \dots,

a następnie pomnożyć wszystkie przez 1 \over 2 otrzymując

\tfrac{1}{2}S = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{10} + \dots.

Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy

\tfrac{3}{2}S = 1 + \tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{4} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} - \tfrac{2}{8} + \dots.

Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]