Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy analizy funkcjonalnej. Zobacz też: inne twierdzenia Riesza.

Twierdzenie Rieszatwierdzenie analizy funkcjonalnej noszące nazwisko Frigyesa Riesza, które opisuje strukturę przestrzeni sprzężonej topologicznie do danej przestrzeni Hilberta w daleko bardziej satysfakcjonujący sposób niż ogólniejsze twierdzenie Hahna-Banacha (obowiązujące dla przestrzeni Banacha). Wśród jego nazw spotyka się oprócz nazwiska Riesza również nazwisko Maurice'a Frécheta oraz nazwy opisowe np. „o reprezentacji (funkcjonału)”, czasami również z zastrzeżeniem „w przestrzeniach Hilberta”.

Stanowi ono odwrócenie następującej obserwacji, iż dla dowolnie wybranego elementu \scriptstyle y ustalonej przestrzeni Hilberta odwzorowanie dane wzorem \scriptstyle x \mapsto \langle x, y\rangle jest (ciągłym) funkcjonałem liniowym, tj. każdy funkcjonał liniowy można przedstawić w tej postaci. Ponadto zapewnia ono o równoważności struktur unitarnych (m.in. izomorficzności jako przestrzeni liniowych oraz izometryczności jako przestrzeni unormowanych; zob. przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle H będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle, zaś \scriptstyle H^* będzie przestrzenią sprzężoną do \scriptstyle H. Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego \scriptstyle y^* \in H^* istnieje jeden i tylko jeden element \scriptstyle y \in H spełniający dla wszystkich \scriptstyle x \in H tożsamość

y^*(x) = \langle x, y\rangle.

Ponadto odwzorowanie \scriptstyle H \to H^* dane wzorem \scriptstyle y \mapsto y^* jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli \scriptstyle H określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

W dalszej części \scriptstyle \empty oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem \scriptstyle \empty(x) = 0 dla każdego \scriptstyle x \in H.

Jeżeli \scriptstyle H jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego \scriptstyle y \in H dla \scriptstyle y^* \in H^* wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie \scriptstyle (\cdot)^*\colon H \to H^* dane wzorem \scriptstyle y \mapsto y^* = \langle \cdot, y \rangle jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej); w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej \scriptstyle V jest \scriptstyle \dim V < \dim V^*, ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że \scriptstyle \dim H = \dim H^* na podstawie izomorfizmu \scriptstyle (\cdot)^* skonstruowanego niżej.

Istnienie
Dla \scriptstyle y^* = \empty wystarczy wziąć \scriptstyle y = 0 i wtedy \scriptstyle y^*(x) = \langle x, 0 \rangle = 0 dla każdego \scriptstyle x \in H; niech więc \scriptstyle y^* \ne \empty, wtedy \scriptstyle \ker y^* jest właściwą podprzestrzenią \scriptstyle H. Ponieważ \scriptstyle y^* jest ciągły, to zbiór \scriptstyle \ker y^* jest domknięty[1][2]. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że
H = \ker y^* \oplus (\ker y^*)^\perp,
a skoro \scriptstyle \ker y^* \ne H, to \scriptstyle (\ker y^*)^\perp \ne \{0\}, a zatem można znaleźć taki element \scriptstyle z \in (\ker y^*)^\perp, dla którego \scriptstyle \|z\| = 1. Ponieważ \scriptstyle z \in (\ker y^*)^\perp, to dla każdego \scriptstyle x \in H zachodzi
y^*(x)\ z - y^*(z)\ x \in \ker y^*,
gdyż na mocy liniowości funkcjonału \scriptstyle y^*\bigl(y^*(x)\ z - y^*(z)\ x\bigr) = y^*(x) y^*(z) - y^*(z) y^*(x) = 0; dlatego
0 = \bigl\langle y^*(x)\ z - y^*(z)\ x, z \bigr\rangle = y^*(x) \langle z, z \rangle - y^*(z) \langle x, z \rangle = y^*(x) \|z\|,
a stąd
y^*(x) = \left\langle x, \overline{y^*(z)}\ z \right\rangle;
aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć \scriptstyle y = \overline{y^*(z)}\ z, gdzie \scriptstyle \overline w oznacza sprzężenie zespolone skalara \scriptstyle w.
Jednoznaczność
Niech \scriptstyle y_1, y_2 \in H będą dwoma elementami, które dla każdego \scriptstyle x \in H spełniają
y^*(x) = \langle x, y_1 \rangle = \langle x, y_2 \rangle;
wówczas, z liniowości, \scriptstyle \langle x, y_1 - y_2 \rangle = 0 dla każdego \scriptstyle x \in H; biorąc \scriptstyle x = y_1 - y_2 otrzymuje się \scriptstyle \|x\| = \|y_1 - y_2\| = 0, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle y_1 - y_2 = 0, czyli \scriptstyle y_1 = y_2.
Izometryczność
Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem \scriptstyle y^*(x) = \langle x, y\rangle jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza wynika wtedy, że
\bigl\|y^*(x)\bigr\| = \bigl\|\langle x, y\rangle\bigr\| \leqslant \|x\| \|y\|,
a więc
\bigl\|y^*\bigr\| = \sup_{\|x\| = 1}\; \bigl\|y^*(x)\bigr\| \leqslant \|y\|.
Jeżeli \scriptstyle y = 0, to \scriptstyle \|y^*\| = 0, czyli \scriptstyle y^* = \empty; w przeciwnym przypadku dla \scriptstyle z = \frac{y}{\|y\|} otrzymuje się
\bigl\|y^*(z)\bigr\| = \Big\|\left\langle \tfrac{y}{\|y\|}, y \right\rangle\Big\| = \frac{1}{\|y\|} \langle y, y \rangle = \frac{\|y\|^2}{\|y\|} = \|y\|,
co daje \scriptstyle \|y^*\| = \|y\|.
Antyliniowość
Antyliniowość odwzorowania \scriptstyle (\cdot)^*\colon H \to H^* wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną:
(cy_1 + dy_2)^*(x) = \langle x, cy_1 + dy_2 \rangle = \overline c \langle x, y_1 \rangle + \overline d \langle x, y_2 \rangle = \overline c\ y_1^*(x) + \overline d\ y_2^*(x).
Jeżeli \scriptstyle H jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Z definicji ciągłości (przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte; zatem z dualności analogiczne stwierdzenie dotyczy zbiorów domkniętych) wynika, że \scriptstyle \ker y^* = (y^*)^{-1}[0] jest domknięty jako przeciwobraz zbioru jednoelementowego (przestrzenie Hilberta są Hausdorffa, które są przestrzeniami \scriptstyle T_1).
  2. Stwierdzenie to można również dowieść korzystając z ogólniejszego twierdzenia dla przestrzeni unitarnych i ograniczonych operatorów liniowych (w przestrzeniach Hilberta, które są unitarne, ciągłe operatory liniowe są równoważne ograniczonym). Twierdzenie: Niech \scriptstyle X, Y będą przestrzeniami unitarnymi, \scriptstyle \mathrm T\colon X \to Y będzie ograniczonym operatorem liniowym, zaś \scriptstyle (x_n) oznacza ciąg elementów \scriptstyle X. Wówczas \scriptstyle x_n \to x pociąga \scriptstyle \mathrm T(x_n) \to \mathrm T(x), a jądro \scriptstyle \ker \mathrm T jest zbiorem domkniętym. Dowód: Pierwsza część twierdzenia wynika z oszacowania \scriptstyle \bigl\|\mathrm T(x_n) - \mathrm T(x)\bigr\| = \bigl\|\mathrm T(x_n - x)\bigr\| \leqslant \|\mathrm T\| \|x_n - x\| \to 0. Jeżeli \scriptstyle x \in \mathrm{cl}(\ker \mathrm T), to (z charakteryzacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych) można wybrać ciąg \scriptstyle (x_n) elementów \scriptstyle \ker \mathrm T zbieżny do \scriptstyle x \in X; skoro \scriptstyle \mathrm T(x_n) \to \mathrm T(x) i ponieważ \scriptstyle \mathrm T(x_n) = 0 dla wszystkich \scriptstyle n \in \mathbb N, to również \scriptstyle \mathrm T(x) = 0, co oznacza \scriptstyle x \in \ker \mathrm T.