Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.

Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.

Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.

Dowód twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że K jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie f:K\to K jest ciągłe. Ponieważ zbiór K jest zwarty, to dla każdego \varepsilon>0 istnieje skończona \varepsilon\!-sieć: \{p_1,p_2,\ldots,p_k\}\subset K. Dla każdego i\in\{1,2,\ldots,k\} zdefiniujmy funkcję

d_i(x)=
\begin{cases}
\varepsilon-\|x-p_i\|,&\mathrm{dla}\ \|x-p_i\|\leqslant\varepsilon,\\
0, &\mathrm{dla}\ \|x-p_i\|>\varepsilon.
\end{cases}

i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że \tilde K =K\cap\mathrm{aff}\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}, gdzie \mathrm{aff} X oznacza otoczkę afiniczną zbioru X, i zdefiniujmy funkcję \varphi:K\to \tilde K wzorem

\varphi(x)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k p_i d_i (x)}{\displaystyle\sum_{i=1}^k d_i(x)},\;x\in K.

Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja \tilde f :\tilde K\to \tilde K, określona wzorem \tilde f(x)=\varphi(f(x)), jest ciągła. Zbiór \tilde K jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni \mathrm{lin}\{p_1,p_2,\ldots,p_k\} o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt x_{\varepsilon}\in\tilde K, że \tilde f(x_{\varepsilon})=x_{\varepsilon}. Ponieważ

\|x_{\varepsilon}-f(x_{\varepsilon})\|\leqslant\|x_{\varepsilon}-\tilde f(x_{\varepsilon})\|+\|\tilde f(x_{\varepsilon})-f(x_{\varepsilon})\|,

to

\|x_{\varepsilon}-f(x_{\varepsilon})\|\leqslant\|\varphi(f(x_{\varepsilon}))-f(x_{\varepsilon})\|\leqslant\varepsilon,

gdyż dla każdego x\in K mamy \|\varphi(x)-x\|\leqslant\varepsilon.

Zatem \lim_{\varepsilon\to 0}\|x_{\varepsilon}-f(x_{\varepsilon})\|=0. Ze zwartości zbioru K wynika, że granica \lim_{\varepsilon\to 0} x_{\varepsilon} jest elementem zbioru K, a z ciągłości funkcji f - to, że jest ona puntem stałym funkcji f.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera:

  • Załóżmy, że K jest niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, funkcja f:K\to K jest ciągła i \overline{f(K)} jest zbiorem zwartym. Wtedy f ma punkt stały w zbiorze K.

Zamiast wypukłości wystarczy założyć o K, że jest absolutnym retraktem Borsuka (AR).

  • (Twierdzenie Darbo, 1950) Niech K będzie niepustym, domkniętym, wypukłym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni Banacha, zaś f: K\to K będzie kontrakcją względem odpowiedniej miary niezwartości \psi (np. Kuratowskiego, Hausdorffa), tzn. \psi(\,f(A)\,) \leqslant k\cdot \psi(A) przy A\subseteq K dla pewnej stałej k<1. Wówczas f posiada punkt stały. Odnotujmy, że kontrakcje Banacha są zwężające zarówno względem miary niezwartości Kuratowskiego jak i Hausdorffa; tym samym w klasie przestrzeni Banacha twierdzenie Darbo stanowi wspólne uogólnienie twierdzeń Schaudera i Banacha o punkcie stałym . Dalsze uogólnienia sformułowali m.in. Nussbaum i Sadovskii (teoria stopnia Leray-Schaudera dla przekształceń kondensujących).

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia Schaudera stosuje się na przykład do dowodzenia twierdzeń:

  • o istnieniu rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Banacha o kontrakcji