Twierdzenie Steinera (mechanika)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Steinera – twierdzenie mechaniki opisujące zależność momentu bezwładności bryły względem danej osi i osi równoległej do danej przechodzącej przez środek masy bryły.

Jego autorem jest Jakob Steiner.

Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

I = I_0 + md^2\,

gdzie:

  • I_0\, – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,
  • I\, – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,
  • d\, – odległość między osiami,
  • m\, – masa bryły.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

Dla tensora momentu bezwładności[edytuj | edytuj kod]

W bardziej ogólnej postaci twierdzenie Steinera można sformułować dla tensora momentu bezwładności. Wynika ono z wpływu przesunięcia osi na momenty bezwładności i zboczenia (nazywane również momentami dewiacji lub odśrodkowymi). Zakłada się przy tym, że początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy ciała, więc można pominąć moment statyczny. Obowiązuje wówczas zależność

\hat{I}_{ij}^A = \hat{I}_{ij}^{cm} + m(\delta_{ij} d^2 - d_i d_j),

gdzie:

  • \hat{I}_{ij}^A – składowa ij\, tensora momentu bezwładności liczona w punkcie A,
  • \hat{I}_{ij}^{cm} – składowa ij\, tensora momentu bezwładności liczona w środku masy,
  • d\, – odległość między punktem A\, a środkiem masy,
  • m\, – masa bryły,
  • \delta_{ij}\,delta Kroneckera.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Pamiętając, że masa całkowita bryły to m oraz wiedząc, że r jest liczone w układzie środka, otrzymuje się

\sum_{k}m_{k}=m\!
\sum_{k}m_{k}\mathbf{r}_k=0.

Jeśli d to odległość A od środka masy, to

\hat{I}_{ij}^A = \sum_{k} m_{k} ((\mathbf{r}+\mathbf{d})_k^{2}\delta_{ij} - (r_{ki}+d_{ki})(r_{kj}+d_{kj}))
= \sum_{k} m_{k} ((\mathbf{r}_k^2+2\mathbf{r}_k \mathbf{d}+d^2)\delta_{ij} -
r_{ki}r_{kj}-d_{i}r_{kj}-r_{ki}d_{j}-d_{i}d_{j})
= \sum_{k} m_{k}(r_k^2\delta_{ij}-r_{ki}r_{kj})
+\sum_{k}m_{k}(d^2\delta_{ij}-d_{i}d_{j})
+2\mathbf{d}\delta_{ij} \sum_{k}m_{k}\mathbf{r}_k
-d_i \sum_{k}m_{k}r_{kj}
-d_j \sum_{k}m_{k}r_{ki}
= \hat{I}_{ij}^{cm}+m(d^2\delta_{ij}-d_{i}d_{j})