Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole'a, mówiące, że

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Co ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harvey'a Stone'a. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole'a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,{\bold 0},{\bold 1})$ będzie algebrą Boole'a.

Definicje

• Powiemy, że zbiór $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ jest filtrem na algebrze ${\mathbb B}$, gdy następujące warunki są spełnione:

(a) ${\bold 1}\in F$,

(b) jeśli $a\in F$ oraz $a\leqslant b\in {\mathbb B}$ (czyli $a\cdot (\sim b)={\bold 0}$), to też $b\in F$,

(c) jeśli $a,b\in F$, to również $a\cdot b\in F$.

• Filtr $F$ na algebrze ${\mathbb B}$ jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym $F$ jest filtr $F$. (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze ${\mathbb B}$ są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze ${\mathbb B}$ jest oznaczany przez ${\rm Ult}({\mathbb B})$.
• Dla $a\in {\mathbb B}$ definiuje się $e(a)=\{p\in {\rm Ult}({\mathbb B})\colon a\in p\}\subseteq {\rm Ult}({\mathbb B})$.

Obserwacje

• Niech $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $F$ jest ultrafiltrem,

(ii) dla każdego elementu $a\in {\mathbb B}$, albo $a\in F$ lub $\sim a\in F$,

(iii) dla każdych $a,b\in {\mathbb B}$, jeśli $a+b\in F$, to $a\in F$ lub $b\in F$.

• Każdy filtr $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
• Dla dowolnych $a,b\in {\mathbb B}$ mamy, że

$e(a+b)=e(a)\cup e(b)$, $e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)$ oraz $e(\sim a)= {\rm Ult}({\mathbb B})\setminus e(a)$.

• Rodzina $\{e(a): a\in {\mathbb B}\}$ jest bazą pewnej topologii $\tau_{\rm St}$ na ${\rm Ult}({\mathbb B})$. Przestrzeń topologiczna $( {\rm Ult}({\mathbb B}),\tau_{\rm St})$ jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T₂. (Tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone'a algebry ${\mathbb B}$)
• Odwzorowanie $e$ jest izomorfizmem pomiędzy algebrą ${\mathbb B}$ a ciałem $\mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B})$ otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone'a.

Dualność

W istocie, twierdzenie Stone'a może być wypowiedziane nieco ogólniejszej formie która to oddaje dualizm między algebrami Boole'a a zwartymi, zero-wymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone'a o dualności

Dla każdej algebry Boole'a $\mathbb{B}$ istnieje izomorfizm

$s_{\mathbb{B}}\colon \mathbb{B}\to \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B})$

przy czym

• dla każdej algebry Boole'a $\mathbb{A}$
• dla każdego homomorfizmu $h\colon \mathbb{B}\to \mathbb{A}$

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

$h^*\colon \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{A})\to \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B})$,

że

$h=s_{\mathbb{A}}^{-1}\circ h^* \circ s_{\mathbb{B}}$.

Ponadto,

• jeżeli $h^*$ jest różnowartościowa, to $h$ jest epimorfizmem,
• jeżeli $h^*$ jest "na", to $h$ jest monomorfizmem,
• jeżeli $\mathbb{C}$ jest algebrą Boole'a oraz $g\colon \mathbb{C}\to\mathbb{B}$ jest homomorfizmem, to

$(h\circ g)^* = g^*\circ h^*$.

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 219, 347. ISBN 978-83-01-15232-1. 

Zobacz też

• twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga,
• twierdzenie Sikorskiego.