Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Weierstrassa w analizie matematycznej mówi, że każdą funkcję ciągłą o wartościach rzeczywistych na przedziale domkniętym [a,b] można przybliżyć jednostajnie z dowolną dokładnością wielomianami. Twierdzenie to zostało znacznie uogólnione przez amerykańskiego matematyka Stone'a i w tej ogólnej postaci jest ono dzisiaj znane jako twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

Historia[edytuj | edytuj kod]

W 1885, niemiecki matematyk Karl Weierstraß udowodnił że każda funkcja ciągła z odcinka domkniętego w liczby rzeczywiste {\mathbb R} jest granicą jednostajną wielomianów o współczynnikach rzeczywistych[1]. Nie znaczy to jednak, że wielomianami można przybliżyć dowolną funkcję na całej jej dziedzinie. Poza odcinkiem na którym przybliżenie będzie całkiem niezłe, wielomian może zachowywać się katastrofalnie, niezależnie od stopnia. Np. funkcji trygonometrycznych, funkcji wykładniczej, logarytmu itd., nie da się sensownie przybliżyć (na całej dziedzinie) wielomianami niezależnie od stopnia.

W 1937, amerykański matematyk Marshall Harvey Stone uogólnił to twierdzenie[2] a dziesięć lat później znacznie uprościł on dowód[3]. Współcześnie, ogólna forma tego twierdzenia (udowodniona przez Stone'a) jest znana jako twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\tau) będzie przestrzenią topologiczną.

  • {\mathcal C}(X) jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych z X w {\mathbb R}. Zbiór ten jest wyposażony w strukturę pierścienia przez określenie operacji +,\cdot tak, że (f+g)(x)=f(x)+g(x) i (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) (dla  f,g\in {\mathcal C}(X) i x\in X).
  • Powiemy, że rodzina funkcji {\mathcal R}\subseteq {\mathcal C}(X) rozdziela punkty jeśli dla każdych dwoćh różnych punktów x,y\in X można znaleźć funkcję f\in {\mathcal R} taką, że f(x)\neq f(y).
  • Topologia zbieżności jednostajnej na {\mathcal C}(X) jest zadana przez metrykę d taką, że
d(f,g)=\sup\big\{\min(1,|f(x)-g(x)|):x\in X\big\},\;f,g\in {\mathcal C}(X).

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli:

(a) X jest przestrzenią zwartą,
(b)  {\mathcal R}\subseteq {\mathcal C}(X) jest podpierścieniem zawierającym wszystkie funkcje stałe,
(c) zbiór  {\mathcal R} jest domknięty w topologii zbieżności jednostajnej,
(d) {\mathcal R} rozdziela punkty.

Wówczas {\mathcal R}= {\mathcal C}(X).

Tak więc, przy warunkach (a) i (b) sformułowanych powyżej,

{\mathcal R} jest gęstym podzbiorem {\mathcal C}(X) (w topologii zbieżności jednostajnej) wtedy i tylko wtedy gdy {\mathcal R} rozdziela punkty.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Karl Weierstraß. Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II), 633–639, 789–805
  2. Marshall Harvey Stone. Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Transactions of the American Mathematical Society 41 (1937), no. 3, 375-481.
  3. Marshall Harvey Stone. The generalized Weierstrass approximation theorem. Math. Mag. 21, (1948). 167-184, 237-254.