Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole'a, mówiące, że

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Co ciałem tym jest rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Twierdzenie udowodnione w 1936 roku przez amerykańskiego matematyka Marshalla Harveya Stone'a[1]. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole'a a teorią zwartych, zerowymiarowych przestrzeni topologicznych.

Uwagi o dowodzie[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy aksjomatu wyboru – mianowicie twierdzenia o ideale pierwszym.

Niech ({\mathbb B},+,\cdot,\sim,{\bold 0},{\bold 1}) będzie algebrą Boole'a.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

  • Powiemy, że zbiór F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\} jest filtrem na algebrze {\mathbb B}, gdy następujące warunki są spełnione:
(a) {\bold 1}\in F,
(b) jeśli a\in F oraz a\leqslant b\in {\mathbb B} (czyli a\cdot (\sim b)={\bold 0}), to też b\in F,
(c) jeśli a,b\in F, to również a\cdot b\in F.
  • Filtr  F na algebrze {\mathbb B} jest filtrem maksymalnym, jeśli jedynym filtrem zawierającym F jest filtr F. (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze {\mathbb B} są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze {\mathbb B} jest oznaczany przez {\rm Ult}({\mathbb B}).
  • Dla a\in {\mathbb B} definiuje się e(a)=\{p\in {\rm Ult}({\mathbb B})\colon a\in p\}\subseteq {\rm Ult}({\mathbb B}).

Obserwacje[edytuj | edytuj kod]

  • Niech F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\} będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) F jest ultrafiltrem,
(ii) dla każdego elementu a\in {\mathbb B}, albo a\in F lub \sim a\in F,
(iii) dla każdych a,b\in {\mathbb B}, jeśli a+b\in F, to a\in F lub b\in F.
  • Każdy filtr F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\} jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
  • Dla dowolnych a,b\in {\mathbb B} mamy, że
e(a+b)=e(a)\cup e(b), e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b) oraz e(\sim a)= {\rm Ult}({\mathbb B})\setminus e(a).
  • Rodzina \{e(a): a\in {\mathbb B}\} jest bazą pewnej topologii \tau_{\rm St} na  {\rm Ult}({\mathbb B}). Przestrzeń topologiczna ( {\rm Ult}({\mathbb B}),\tau_{\rm St}) jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T2. (Tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone'a algebry {\mathbb B})
  • Odwzorowanie e jest izomorfizmem pomiędzy algebrą {\mathbb B} a ciałem \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B}) otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone'a.

Dualność[edytuj | edytuj kod]

W istocie, twierdzenie Stone'a może być wypowiedziane nieco ogólniejszej formie która to oddaje dualizm między algebrami Boole'a a zwartymi, zero-wymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

Twierdzenie Stone'a o dualności[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej algebry Boole'a \mathbb{B} istnieje izomorfizm

s_{\mathbb{B}}\colon \mathbb{B}\to \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B})

przy czym

  • dla każdej algebry Boole'a \mathbb{A}
  • dla każdego homomorfizmu h\colon \mathbb{B}\to \mathbb{A}

istnieje dokładnie jedna taka funkcja ciągła

h^*\colon \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{A})\to \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B}),

że

h=s_{\mathbb{A}}^{-1}\circ h^* \circ s_{\mathbb{B}}.

Ponadto,

  • jeżeli h^* jest różnowartościowa, to h jest epimorfizmem,
  • jeżeli h^* jest "na", to h jest monomorfizmem,
  • jeżeli \mathbb{C} jest algebrą Boole'a oraz g\colon \mathbb{C}\to\mathbb{B} jest homomorfizmem, to
(h\circ g)^* = g^*\circ h^*.

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]