Twierdzenie Sturma

Twierdzenie Sturma - twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale.

Ciągi Sturma

Dla danego wielomianu

$f(x)=a_n x^n+\ldots a_1 x+a_0$

Ciąg Sturma (wielomianu $f$) określony jest wzorami:

$\begin{array}{rcl} X_0 &=&X\\ X_1&=&X^\prime\\ X_2&=&-{\rm rem}(X,X_1)\\ X_3&=&-{\rm rem}(X_1,X_2)\\ &\vdots&\\ X_{r+1}&=&-{\rm rem}(X_{r-1},X_r), \end{array}$

gdzie rem(X,Y) oznacza resztę z dzielenia wielomianu X przez Y oraz $r$ jest taką liczbą naturalną, że $X_{r+1}=0$. Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu $w$ jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów

$X_r$ jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu $X$ oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to $X_r$ jest funkcją stałą.

Twierdzenie Sturma

Niech $w(\xi)$ będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

$X_0(\xi), X_1(\xi), X_2(\xi),\ldots, X_r(\xi).$

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych $a<b$ które nie są pierwiastkami wielomianu $X$ liczba pierwiastków wielomianu w przedziale $[a,b]$ jest równa

$|w(a)-w(b)|\,$.

Zastosowania

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę $M$, że wszystkie pierwiastki wielomianu $X$ leżą w przedziale $[-M,M]$; za taką liczbę można wziąć np.

$M=\max\{1, \sum |a_i|\}$.

Zobacz też

• Jacques Charles François Sturm