Twierdzenie Szarkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Szarkowskiegotwierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej[1]. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke’a z 1975 r.

Porządek Szarkowskiego[edytuj | edytuj kod]

Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych \mathbb{N}=\{1, 2, \ldots\}, oznaczany \triangleleft, w którym elementem najmniejszym jest liczba 3 a największym 1:


\begin{array}{lllll}
3           &\triangleleft{}\ 5          &\triangleleft{}\ 7          &\triangleleft{}\ 9          &\triangleleft\ \ldots \\
3\cdot{}2   &\triangleleft{}\ 5\cdot{}2  &\triangleleft{}\ 7\cdot{}2  &\triangleleft{}\ 9\cdot{}2  &\triangleleft\ \ldots \\ 
3\cdot{}2^2 &\triangleleft{}\ 5\cdot{}2^2&\triangleleft{}\ 7\cdot{}2^2&\triangleleft{}\ 9\cdot{}2^2&\triangleleft\ \ldots \\ 
\ \vdots &\quad\vdots        &\quad\vdots        &\quad\vdots        &\quad\vdots    \\
\ldots      &\triangleleft{}\ 2^3        &\triangleleft{}\ 2^2        &\triangleleft{}\ 2^1        &\triangleleft{}\ 1    \\
\end{array}

Twierdzenie Szarkowskiego[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon J\to \mathbb{R} będzie funkcją ciągłą, a J\subseteq{}\mathbb{R} to domknięty odcinek lub cała prosta \mathbb{R}. Jeśli f ma punkt okresowy o okresie {k} oraz k\triangleleft{}l w porządku Szarkowskiego, to f ma punkt okresowy o okresie l.

Idea dowodu[edytuj | edytuj kod]

Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.

A-graf[edytuj | edytuj kod]

Powiemy, że przedział I nakrywa przedział J przy funkcji f, gdy f(I)\supseteq{}J. Niech x będzie punktem okresowym o okresie n>1 i orbicie \{x_1, x_2, \dots, x_n\} uporządkowanej następująco: x_1 < x_2 < \dots < x_n. Oznaczmy przedziały I_k = [x_k, x_{k+1}] dla k=1..{n-1}. Graf o wierzchołkach I_1, I_2, \dots, I_{n-1} nazywamy A-grafem. Krawędź I_j\rightarrow{}I_k występuje w A-Grafie, gdy przedział I_j nakrywa I_k.

Tworzenie orbit za pomocą A-grafu[edytuj | edytuj kod]

Niech J_1 \rightarrow J_2 \rightarrow \ldots \rightarrow J_n \rightarrow J_1 będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział K \subseteq J_1 taki, że f^s(K) \subseteq J_k dla s = 1, 2 \dots, n-1 oraz f^n(K) \ne J_1.

Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]

Mając dany punkt okresowy x_1 i jego orbitę x_1, \ldots, x_n, tworzymy dla niego (n-1)-wierzchołkowy A-graf. Aby pokazać istnienie punktu okresowego o okresie k, znajdujemy nietrywialny cykl długości k.

Uogólnienie na wyższe wymiary[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi w wymiarach wyższych niż 1. Kontrprzykład: niech T\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 będzie obrotem o kąt 90^{\circ} wokół punktu (0,0). Przekształcenie T ma dokładnie jeden punkt stały (0, 0), a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie 4.

Przypisy

  1. A.N. Sharkovskii, Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself, Ukrainian Math. J. 16:61-71 (1964).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Mathematics, tom 1513, 1992, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Zawiera nietrudny dowód twierdzenia Szarkowskiego bazujący na A-Grafach.
  • O ustawianiu liczb naturalnych, czyli twierdzenie Szarkowskiego. W: Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-145-9.