Twierdzenie Talesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy twierdzenia o przecięciu ramion kąta prostymi równoległymi. Zobacz też: Twierdzenie Talesa o okręgu i trójkącie prostokątnym.

Twierdzenie Talesa – jedno z najważniejszych twierdzeń geometrii euklidesowej. Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu.

Treść[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odpowiednie odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta.

Prezentacja twierdzenia Prezentacja twierdzenia

Dla powyższych rysunków zachodzi: \frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|DB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}

lub po przekształceniu: \frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|} oraz \frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|} a także \frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}.

Często spotykaną nieścisłością jest takie formułowanie twierdzenia Talesa: \frac{|AD|}{|DE|}=\frac{|AB|}{|BC|}, ta równość jest prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.

Dowód oparty jest na dwóch lematach:

  1. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
  2. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.
Dowód

Niech  [ABC] oznacza pole powierzchni trójkąta ABC.

Trójkąty CED i EAD mają wspólną wysokość h', więc na mocy lematu 1.:

\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{[CED]}{[EAD]}.

Dodatkowo trójkąty CED i BDE mają wspólną podstawę ED i równe wysokości h, dlatego na mocy lematu 2:

[CED] = [BDE]\;, stąd \frac{[CED]}{[EAD]} = \frac{[BDE]}{[EAD]}.

Trójkąty BDE i EAD mają wspólną wysokość, więc zgodnie z lematem 1:

\frac{[BDE]}{[EAD]} = \frac{|BD|}{|DA|}.

Przyrównując do siebie te równości otrzymuje się

\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{[CED]}{[EAD]} = \frac{[BDE]}{[EAD]} = \frac{|BD|}{|DA|},

czego należało dowieść.

Komentarz[edytuj | edytuj kod]

W powyższym rozumowaniu korzysta się z faktu, iż pole trójkąta liczone dla jednego boku jako podstawy i opuszczonej na niego wysokości jest równe polu liczonemu dla innego boku jako podstawy i opuszczonej na ten bok wysokości. Jest to dość silna własność funkcji pola (wyżej korzysta się z niej w drugim zdaniu dowodu), jednak nie jest ona niezbędna do dowiedzenia twierdzenia Talesa i w szkolnej matematyce cicho się ją zakłada. Notabene własność tę można udowodnić właśnie z twierdzenia Talesa.

Aby ustrzec się błędnego koła twierdzenie Talesa można dowieść korzystając z przejścia granicznego i dobrze określonej miary (np. Lebesgue'a na płaszczyźnie): stosunkowo łatwy jest dowód, gdy \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} = 1, podobnie gdy podzieli się odcinki w stosunku wymiernym, przypadek niewymierny dowodzi się przez przybliżenia za pomocą przejścia granicznego.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli ramiona kąta przecięte są dwiema prostymi nie pokrywającymi się z tymi ramionami i zachodzi którykolwiek z warunków:

\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|AB|}{|AC|}
\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}

gdzie:

  • A to wierzchołek kąta
  • Punkty przecięcia pierwszej prostej to B (z pierwszym ramieniem) i C (z drugim ramieniem)
  • Punkty przecięcia drugiej prostej to D (z pierwszym ramieniem) i E (z drugim ramieniem)

to proste są równoległe.
(Jeśli zachodzi jeden z tych warunków, to drugi również)

Uwaga. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa nie jest w ogólności prawdziwe dla warunków:

\frac{|DB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}
(1)
\frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}
(2)
\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|}
(3)
\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|DB|}{|EC|}
(4)

Warunki te są spełnione dla prostych równoległych (twierdzenie Talesa) ale nie tylko dla nich. Wystarczy wyjść od prostych równoległych i odbić punkt E symetrycznie względem punktu C, a równania (1), (2) i (3) pozostaną spełnione, choć proste nie będą już równoległe. Analogicznie, po odbiciu punktu C wzlędem E, spełnione będą równania (3) i (4).

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Podział odcinka w danym stosunku[edytuj | edytuj kod]

Poniższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.

Zadanie
Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podzielić w stosunku a:b.

Podział odcinka w danym stosunku

Rozwiązanie
Z punktu A należy poprowadzić dwie, niewspółliniowe półproste. Na jednej z nich odkładamy kolejno długości a i b, a na drugiej odcinek AB. Prowadzimy prostą przez punkt leżący w odległości a + b na pierwszej półprostej oraz punkt B leżący na drugiej, a następnie prostą do niej równoległą przechodzącą przez punkt leżący na drugiej półprostej w odległości a od punktu A, która wyznacza na prostej AB punkt P. Punkt ten dzieli odcinek AB w stosunku a:b, gdyż z twierdzenia Talesa wynika, że \frac{|AP|}{|PB|} = \frac{a}{b}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]