Twierdzenie Taylora–Proudmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W mechanice płynów, twierdzenie Taylora-Praudmana[1] mówi, że przy spełnieniu pewnych warunków (patrz niżej), przepływ w trójwymiarowych układach wirujących redukuje się do przypadku dwuwymiarowego. Owa dwuwymiarowa płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu \mathbf\Omega tzn. gradient pola prędkości przepływu(który jest macierzą) staje się "prostopadły"(tzn. gradient każdej składowej wektora prędkości jest prostopadły) do \mathbf\Omega (czyli iloczyn wektora i macierzy \mathbf\Omega\cdot\nabla \mathbf v = 0).

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Wychodzimy od równania Naviera-Stokesa (NS) dla układu obracającego się ze stałą prędkością kątową \mathbf\Omega \in \mathbb{R}^3:

\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v = -\frac{1}{\varrho}\nabla p + \nu\nabla\cdot\nabla \mathbf v - 2\mathbf\Omega\times \mathbf v - \mathbf\Omega\times (\mathbf\Omega\times \mathbf r) + F

gdzie:

  • \mathbf r \in \mathbb{R}^3 – promień (prostopadły do osi obrotu \Omega),
  • 2\mathbf \Omega\times \mathbf v – człon związany z siłą Coriolisa,
  • \mathbf \Omega\times (\mathbf\Omega\times \mathbf r) – człon związany z siłą bezwładności,

Założenia[edytuj | edytuj kod]

  1. \nabla\cdot \mathbf v=0 płyn nieściśliwy
  2. \frac{\partial \mathbf v}{\partial t} =\mathbf 0 przepływ stacjonarny
  3. 1 \ll |\mathbf\Omega| duża prędkość obrotowa, co implikuje że siła Coriolisa jest względnie duża, a więc człon adwekcyjny \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v jest zaniedbywalnie mały (inaczej: liczba Rossbiego jest mała tj: 0 \leq R_o \ll 1 ).
  4. F=-\nabla\Phi człon związany z siłami masowymi jest polem potencjalnym o potencjale \Phi:\mathbb{R}^
3\rightarrow \mathbb{R}
  5. 0 \leq |\nu\nabla\cdot\nabla \mathbf v| \ll 1 lepkość jest zaniedbywalnie mała (przepływ nielepki)

Teza[edytuj | edytuj kod]

\mathbf\Omega\cdot\nabla \mathbf v = 0

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Wykorzystując założenia 2,3,5 równanie NS upraszcza się do postaci:

\frac{1}{\varrho}\nabla p = F -2\mathbf\Omega\times \mathbf v - \mathbf\Omega\times (\mathbf \Omega\times \mathbf r)

Zauważmy, że (korzystając z własności iloczynu wektorowego) możemy przedstawić siłę bezwładności jako gradient pewnego pola skalarnego:

\mathbf\Omega\times (\mathbf\Omega\times \mathbf r)=\mathbf \Omega(\mathbf \Omega\cdot \mathbf r)-\mathbf r(\mathbf\Omega\cdot\mathbf\Omega)=\nabla\left(\frac{1}{2}(\mathbf \Omega\cdot \mathbf r)^2-|\mathbf\Omega|^2 \frac{1}{2}|\mathbf r|^2 \right)=\nabla\left(-\frac{1}{2}|\mathbf\Omega\times \mathbf r|^2\right)

gdzie \mathbf\Omega\cdot\mathbf\Omega=|\mathbf\Omega|^2, \mathbf r\cdot\mathbf r=|\mathbf r|^2. Zatem człon związany z siłą bezwładności jest pewnym polem potencjalnym.

Jak wiadomo, rotacja z pola potencjalnego jest równa zero, w związku z czym dokonując rotacji dla obydwu stron równania NS pozbędziemy się członu ciśnienia, sił masowych(założenie 4) oraz bezwładności – gdyż są to pola potencjalne – i dostaniemy równość:

\nabla\times (2\mathbf \Omega\times \mathbf v)=0

Dzieląc równanie obustronnie przez 2 i rozpisując lewą stronę równania zgodnie z wzorem na rotację iloczynu wektorowego otrzymamy:


\mathbf v \cdot \nabla \mathbf \Omega - \mathbf \Omega \cdot \nabla \mathbf v
+ \mathbf \Omega \nabla \cdot \mathbf v  - \mathbf v \nabla \cdot \mathbf \Omega =0

A ponieważ \mathbf\Omega jest wektorem stałym wiec \nabla \mathbf \Omega=\mathbf 0, \nabla \cdot \mathbf \Omega =0 . Uwzględniając ponadto założenie 1, po lewej stronie powyższej równości pozostaje tylko:

\mathbf\Omega\cdot\nabla \mathbf v = 0

zatem otrzymaliśmy tezę.

Przypisy

  1. Twierdzenie Taylora-Proudmana było wyprowadzone pierwotnie przez Sydneya Samuela Hougha (1870-1923), matematyka z Cambridge University w czasopiśmie "Phil. Trans. R. Soc. Lond. A" vol.189 s.201–257 data: 1.01.1897r. w artykule "On the application of harmonic analysis to the dynamical theory of the tides. Part I. On Laplace’s “oscillations of the first species,” and on the dynamics of ocean currents"