Twierdzenie Tichonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Tichonowatwierdzenie mówiące, iż produkt dowolnej rodziny zwartych przestrzeni topologicznych jest zwarty. Nosi ono nazwisko Andrieja Tichonowa, który udowodnił je jako pierwszy w 1930 roku dla potęg domkniętego przedziału jednostkowego, a w 1935 roku przedstawił pełny dowód z uwagą, iż nie różni się on od przypadku szczególnego. Najstarsze opublikowane wystąpienie dowodu znajduje się w pracy Eduarda Čecha z 1937 roku.

Kilka źródeł wskazuje niepodzielnie twierdzenie Tichonowa jako najistotniejszy wynik topologii ogólnej [np. Willard, s. 120]; inni każą mu dzielić ten zaszczyt z lematem Urysohna.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie istotnie zależy od dokładnej definicji zwartości i topologii produktowej; w gruncie rzeczy, praca Tichonowa z 1935 roku zawiera pierwszą definicję topologii produktowej. Odwrotnie, jego doniosłość daje pewność, że te właśnie definicje są prawidłowe (tzn. najbardziej użyteczne).

Rzeczywiście, definicja Heinego-Borela zwartości – iż każde pokrycie przestrzeni zbiorami otwartymi ma skończone podpokrycie – jest dość nowa. W XIX i początkach XX wieku popularniejsze było kryterium Bolzano-Weierstrassa mówiące, iż każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny, teraz nazywane ciągową zwartością. Warunki te są równoważne w przestrzeniach metryzowalnych, ale żaden nie wynika z drugiego w innych klasach przestrzeni topologicznych.

Łatwo dowieść, że produkt dwóch przestrzeni ciągowo zwartych jest ciągowo zwarty – przechodzi się do podciągu w pierwszym czynniku, a następnie do pod-podciągu w drugim z nich. Tylko nieco trudniejszy argument „przekątniowy” daje ciągową zwartość przeliczalnego produktu przestrzeni ciągowo zwartych. Jednakże produkt continuum wielu egzemplarzy domkniętego przedziału jednostkowego nie jest ciągowo zwarty.

Jest tak, gdyż jeśli X jest całkowicie regularną przestrzenią Hausdorffa, to istnieje naturalne włożenie X w [0, 1]^{\operatorname C(X, [0, 1])}, gdzie \operatorname C\bigl(X, [0, 1]\bigr) jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z X w odcinek [0, 1]. Zwartość [0, 1]^{\operatorname C(X, [0, 1])} oznacza, że każda całkowicie regularna przestrzeń Hausdorffa może być zanurzona w zwartej przestrzeni Hausdorffa (lub też może być „uzwarcona”). Konstrukcja ta nie jest niczym innym jak tylko uzwarcenie Stone'a-Čecha. Odwrotnie, wszystkie podprzestrzenie zwartych przestrzeni Hausdorffa są całkowicie regularne i Hausdorffa, a więc wynika stąd charakteryzacja całkowicie regularnych przestrzeni Hausdorffa jako tych, które mogą być uzwarcone. Takie przestrzenie nazywa się dziś przestrzeniami Tichonowa.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Tichonowa wykorzystuje się także podczas dowodu twierdzenia Banacha-Alaoglu i może być wykorzystane do dowiedzenia twierdzenia Arzeli-Ascolego. Z reguły dowolna konstrukcja, która zaczynając od dość ogólnego obiektu (często natury algebraicznej bądź algebraiczno-topologicznej) daje w wyniku przestrzeń zwartą, korzysta zwykle z twierdzenia Tichonowa: np. przestrzeń Gelfanda ideałów maksymalnych przemiennej C*-algebry, przestrzeń Stone'a ideałów maksymalnych algebry Boole'a, widmo Berkovitcha przemiennego pierścienia Banacha.

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Nowocześniejsze dowody rozważa się z następujących powodów: podejście do zwartości poprzez zbieżność podciągów prowadzi do prostego i przejrzystego dowodu w przypadku przeliczalnych zbiorów indeksujących. Mimo to podejście ciągowe do zbieżności w przestrzeniach topologicznych jest zadowalające, gdy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności (jak to jest dla przestrzeni metryzowalnych), lecz w ogólności nie na odwót. Jednakże iloczyn przeliczlanie wielu przestrzeni metryzowalnych, z których każda jest przynajmniej dwupunktowa, nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności. Tak więc naturalnym jest oczekiwanie, by odpowiednie pojęcie zbieżności w dowolnych przestrzeniach prowadziło do kryterium zbieżności, które uogólniałoby ciągową zwartość w przestrzeniach metryzowalnych i pozwalało łatwo określić zwartość iloczynów. To właśnie okazało się być kluczem.
  • Teoria zbieżności poprzez filtry zapoczątkowana przez Henriego Cartana i rozwinięta przez Bourbakiego w 1937 roku prowadzi do następującego kryterium: zakładając lemat o ultrafiltrze przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr na przestrzeni jest zbieżny. Mając je do dyspozycji dowód staje się prosty: (filtr generowany przez) obraz ultrafiltry na przestrzeni produktowej w dowolnym przekształceniu rzutowym jest ultrafiltrem na przestrzeni ilorazowej, który zatem zbiega do przynajmniej jednego x_i. Następnie pokazuje się, że ultrafiltr wyjściowy zbiego do x = (x_i).
Munkres w swojej pozycji przedstawia dowód Cartana-Bourbakiego niekorzystając bezpośrednio z języka teorii filtrów.
  • Podobnie teoria Moore'a-Smitha zbieżności poprzez ciągi uogólnione uzupełniona przez pojęcie uniwersalny ciąg uogólniony autorstwa Kelleya, która prowadzi do kryterium mówiącego, iż przestrzeń jest zwarta wtedy i tylkow wtedy, gdy dowolny uniwersalny ciąg uogólniony danej przestrzeni jest zbieżny. Kryterium to prowadzi do dowodu (Kelley, 1950) twierdzenia Tichonowa, które jest identyczne słowo w słowo z dowodem Cartana/Bourbakiego wykorzystującym filtry z wyjątkiem zmiany wyrażenia „uniwersalny ciąg uogólniony” na „baza ultrafiltra”.
  • Dowód wykorzystujący nieuniwersalne ciągi uogólnione został podany w 1992 roku przez Paula Chernoffa.

Związek z aksjomatem wyboru[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie z powyższych dowodów korzystają w pewien sposób z aksjomatu wyboru (AC). Przykładowo trzeci wykorzystuje fakt, iż każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze (tzn. filtrze maksymalnym), co dzieje się za sprawą lematu Kuratowskiego-Zorna. Z lematu Kuratowskiego-Zorna korzysta się także podczas dowodu twierdzenia Kelleya, mówiącego że każdy ciąg uogólniony zawiera uniwersalny podciąg uogólniony. Istotnie, użycia te są kluczoweL w 1950 roku Kelley wykazał, że twierdzenie Tichonowa pociąga za sobą aksjomat wyboru. Jednym ze sformułowań AC jest, że produkt kartezjański rodziny niepustych zbiorów jest niepusty; ponieważ zbiór pusty jest z całą pewnością zwarty, to dowód nie może przejść obok tego typu stwierdzeń. W ten sposób twierdzenie Tichonowa łączy ze sobą kilka innych podstawowych twierdzeń (np. że każda niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę) jako równoważnych AC.

Z drugiej strony twierdzenie, że dowolny filtr zawiera się w pewnym ultrafiltrze nie pociąga AC. Istotnie, łatwo zauważyć, że jest to równoważne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPIT), znanym punktem pośrednim między aksjomatami teorii mnogości Zermelo-Fraenkela (ZF) i teorii ZF powiększonej o aksjomat wyboru (ZFC). Początkowo może się zdawać, że drugi dowód twierdzenia Tichonowa nie korzysta się z niczego więcej niż BPIT, co przeczy powyższemu. Jednakże przestrzenie, w których każdy filtr zbieżny ma jednoznacznie wyznaczoną granicę to dokładnie przestrzenie Hausdorffa. W ogólności należy dla każdego elementu zbioru indeksującego wybrać element z niepustego zbioru granic rzutowanej bazy ultrafiltra, a to oczywiście stanowi użycie AC. Pokazuje to także, że zwartość iloczynu zwartych przestrzeni Hausdorffa może być wykazana za pomocą BPIT, a w rzeczywistości prawidziwe jest stwierdzenie odwrotne. Badaniem siły twierdzenia Tichonowa dla różnych ograniczonych klas przestrzeni zajmuje się topologia teoriomnogościowa.

Dowód aksjomatu wyboru[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat wyboru mówi, że dla danych zbiorów A_i dla i \in I, iloczyn A = \prod A_i jest niepusty. Dla tak zadanych zbiorów można wybrać pewien x nienależący do \bigcup A_i (np. może to być zbiór potęgowy tej sumy). Następnie niech B_i := A_i \cup \{x\} dla i \in I będą wyposażone w topologię \bigl\{B_i, A_i, \{x\}, \varnothing\bigr\}; ponadto niech B := \prod B_i ma topologię produktową. Każdy zbiór B_i jest zwarty, a więc z twierdzenia Tichonowa B również jest zwarty.

Niech teraz U_j := \{b \in B\colon b_j = x\} dla j \in I. Ponieważ U_j jest przeciwobrazem \{x\} rzutu na j-tą współrzędną, to jest on otwarty dla każdego j \in I. Dla dowolnych różnych j_1, \dots, j_n zbiór U_{j_1} \cup \dots \cup U_{j_n} = \{b \in B\colon b_{j_k} = x \mbox{ dla pewnego } 1 \leqslant k \leqslant n\} nie pokrywa B: istotnie, wybrawszy dla 1 \leqslant k \leqslant n element a_{j_k} ze zbioru A_{j_k}, a następnie przyjęciu b_j:= a_{j_k} o ile j = j_k oraz b_j = x w przeciwnym przypadku otrzymuje się, iż b nie należy do U_{j_1} \cup \dots U_{j_n} (można wykonać skończenie wiele wyborów bez aksjomatu wyboru). W ten sposób U_j nie ma skończonego podpokrycia, a więc ze zwartości nie mogą one pokrywać B. Istnieje zatem a \in B taki, że a_i \in A_i dla każdego i, tj. a \in A, co oznacza, że A nie jest pusty, jak wymagano.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Paul N. Chernoff. A simple proof of Tychonoff's theorem via nets. „American Mathematical Monthly”, s. 932–934, 1992. doi:10.2307/2324485. 
  • Peter T. Johnstone: Stone spaces. T. 3. New York: Cambridge University Press, 1982, seria: Cambridge Studies in Advanced Mathematics. ISBN 0521238935.
  • Peter T. Johnstone. Tychonoff's theorem without the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”, s. 21–35, 1981. 
  • John L. Kelley. Convergence in topology. „Duke Mathematics Journal”, s. 277–283, 1950. doi:10.1215/S0012-7094-50-01726-1. 
  • John L. Kelley. The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”, s. 75–76, 1950. 
  • James Munkres: Topology. Wyd. II. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000. ISBN 0131816292.
  • Andrey N. Tychonoff: Über die topologische Erweiterung von Räumen. T. 102. 1930, s. 544–561. DOI:10.1007/BF01782364. (niem.)
  • Stephen Willard: General Topology. Mineola, NY: Dover Publications, 2004. ISBN 0486434796.