Twierdzenie Toeplitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Toeplitza (nazywane również twierdzeniem Toeplitza o regularnym przekształceniu ciągu) zostało sformułowane w 1911 roku przez matematyka niemieckiego Otto Toeplitza[1]. Mówi ono o zbieżności szeregu powstałego przez pewne przekształcenie zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Zachodzi następujące twierdzenie

Niech (t_n) będzie zbieżnym do t ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy zbieżny jest również ciąg \left(\tfrac{t_1+t_2+\ldots+t_n}{n}\right) i ma granicę równą t.

Dowód. Skoro t_n \to t dla n \to \infty, to dla dowolnego \varepsilon > 0 istnieje liczba naturalna k, taka że |t_n-t|<\varepsilon, dla n>k. Stąd t-\varepsilon < t_i < t + \varepsilon dla i=k+1,k+2,\ldots,n. Sumując stronami powyższe nierówności, a następnie dzieląc przez n-k otrzymujemy

(*)t - \varepsilon < \frac{t_{k+1}+t_{k+2}+\ldots+t_n}{n-k} < t + \varepsilon.

Ponadto oczywiście \tfrac{t_1+t_2+\ldots+t_k}{n} \to 0 gdy n \to \infty, co w połączeniu z (*) implikuje tezę.

Zauważmy, że wyrazy ciągu \left(\tfrac{t_1+t_2+\ldots+t_n}{n}\right) możemy zapisać jako \sum_{k=1}^{n} \tfrac{1}{n} t_k. Naturalnym wydaje się pytanie, kiedy ciągi (s_n) o wyrazach postaci s_n = \sum_{k=1}^n a_{k,n} t_k będą zbieżne i czy ich granicą będzie t.

Twierdzenie Toeplitza[edytuj | edytuj kod]

Niech (a_{k,n}) będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym 1 \leqslant k \leqslant n. Ponadto niech (t_n) będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych o granicy t. Jeśli spełnione są poniższe warunki

(1) a_{k,n} \to 0 dla n \to \infty i dowolnie ustalonej liczby naturalnej k,
(2) \sum_{k=1}^{n} a_{k,n} \to 1 dla n \to \infty,
(3) \sum_{k=1}^n |a_{k,n}| \leqslant M dla pewnej liczby M > 0 oraz wszystkich n,

to ciąg (s_n), określony wzorem s_n = \sum_{k=1}^n a_{k,n} t_k dla n \geqslant 1 jest zbieżny do t.

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Niech (a_{k,n}) będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym 1 \leqslant k \leqslant n. Jeśli dla każdego zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych (t_n), ciąg (s_n) określony wzorem s_n = \sum_{k=1}^n a_{k,n} t_k jest zbieżny do granicy ciągu (t_n), to

(1) a_{k,n} \to 0 dla n \to \infty i dowolnie ustalonej liczby naturalnej k,
(2) \sum_{k=1}^{n} a_{k,n} \to 1 dla n \to \infty,
(3) istnieje liczba M > 0, taka że \sum_{k=1}^n |a_{k,n}| \leqslant M dla wszystkich n.

Przypisy

  1. O. Toeplitz, Über die lineare Mittelbildungen, Prace mat.-fiz., 22, strony 113-118.