Twierdzenie Zermelo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie Zermelo – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że każdy zbiór daje się dobrze uporządkować. Spotyka się również inną nazwę tego twierdzenia, bardziej oddającą jego treść: twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; korzysta się z niego w dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna.

Formalnie twierdzenie Zermelo mówi, że dla dowolnego zbioru S istnieje taki porządek \langle S,\leqslant\rangle, że jest on dobrym porządkiem.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Ważnym wnioskiem z twierdzenia Zermelo jest to, że liczby kardynalne są porównywalne, to znaczy, że dla dowolnych dwóch zbiorów X i Y zachodzi \overline{X}\geqslant\overline{Y} lub \overline{Y}\geqslant\overline{X}, gdzie przez \overline{X} oznacza moc zbioru X. Jest tak, gdyż każdy z tych zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]