Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy'ego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy'ego.

Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy'ego który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Czasami twierdzenie to jest nazywane twierdzeniem Cauchy'ego o całce krzywoliniowej albo twierdzeniem całkowym Cauchy'ego.

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

Przypuśćmy, że D\subseteq {\mathbb C} jest obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej {\mathbb C} ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą C. Niech f:U\longrightarrow {\mathbb C} będzie funkcją analityczną na obszarze U takim, że D\cup C\subseteq U. Wówczas

\int_C f(z)\; dz=0

[edytuj] Wnioski

\int_{C_1} f(z)\; dz=\int_{C_2} f(z)\; dz.

Zatem możemy zdefiniować całkę

\int_a^b f(z)\; dz

(tzn nie zależy ona od drogi całkowania).

  • Dla D,f,a ja powyżej określmy funkcję \Phi:D\longrightarrow {\mathbb C} przez
\Phi(z)=\int_a^z f(\zeta)\;d\zeta.

Wówczas funkcja Φ jest analityczna oraz Φ'(z) = f(z)

  • Niech f(z) będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z1,z2,...,zn oraz niech C \subset D będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty z1,z2,...,zn (tzn punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią r > 0 taką, że okręgi K(zi,r) o środku w zi i promieniu r (dla i=1,\ldots,n) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas
\oint\limits_{C^{+}} f(z)dz= \sum_{i=1}^n \oint\limits_{K(z_{i},r)} f(z)dz

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio.)

[edytuj] Źródła

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_podstawowe_Cauchy%27ego"