Twierdzenie cosinusów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Carnot theorem.svg

Twierdzenie cosinusów (inaczej wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa[1]) – twierdzenie mówiące, że w dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Używając oznaczeń z rysunku obok

c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\;.

W szczególnym przypadku, gdy trójkąt jest prostokątny i \gamma jest kątem prostym, twierdzenie to sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa, ponieważ cosinus kąta prostego jest równy zeru, czyli

c^2 = a^2 + b^2\;.

Dowody twierdzenia cosinusów[edytuj | edytuj kod]

Dowód 1[edytuj | edytuj kod]

Carnot theorem2.PNG

Z wierzchołka przy boku c opuśćmy wysokość na bok b. Podzieli ona bok b na części b_1, b_2.

Korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa i z zależności b=b_1+b_2 dostaniemy

c^2=h^2+b_1^2= (a^2-b_2^2)+(b-b_2)^2=a^2+b^2-2bb_2.

Ponieważ:

-2bb_2=-2ab{\frac {b_2}{a}}=-2ab \cos \gamma

więc mamy tezę.

Dowód niewiele się zmieni, jeśli spodek wysokości znajdzie się "na zewnątrz" boku b.

Dowód 2[edytuj | edytuj kod]

Carnot theorem3.PNG

Lemat

Dla dowolnego trójkąta o bokach o długości: a, b, c i kątach leżących naprzeciw nich odpowiednio: α, β, γ zachodzą zależności:

a=c \cdot \cos \beta + b \cdot \cos \gamma
b=c \cdot \cos \alpha + a \cdot \cos \gamma
c=b \cdot \cos \alpha + a \cdot \cos \beta

Dowód lematu

Udowodnimy np. drugą z powyższych zależności. Rzeczywiście, opuszczając wysokość na bok b dostaniemy:

b=b_1+b_2 = c{\frac {b_1}{c}}+a{\frac{b_2}{a}} = c \cdot \cos\alpha + a \cdot \cos\gamma.

Dowód twierdzenia

Trzy udowodnione w lemacie równości mnożymy obustronnie: pierwszą przez a, drugą przez b, trzecią przez −c:

\begin{align}
a^2 & = ac \cdot \cos \beta + ab \cdot \cos \gamma \\
b^2 & = bc \cdot \cos \alpha + ab \cdot \cos \gamma \\
-c^2& =-bc \cdot \cos \alpha - ac \cdot \cos \beta
\end{align}

Dodając stronami dostaniemy:

a^2+b^2-c^2 = 2ab \cdot \cos \gamma

Twierdzenie cosinusów w przestrzeniach unitarnych[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeniach unitarnych (rzeczywistych) dowodzi się twierdzenia, które również nazywa się twierdzeniem cosinusów ze względu na formalne podobieństwo do twierdzenia klasycznego. Jeśli mianowicie dla wektorów a,b,c przyjmiemy:

c=a-b\,

to korzystając z aksjomatów iloczynu skalarnego i definicji |x|=\sqrt{(x,x)} łatwo dostaniemy:

|c|^2 = (c,c) = (a-b,a-b) = (a,a)+(b,b)-2(a,b) = |a|^2 + |b|^2 - 2(a,b)\,

W celu wzmocnienia formalnego podobieństwa do twierdzenia klasycznego wprowadza się jeszcze jedną definicją. Kątem (tzn. miarą kąta) \measuredangle(x,y) między (niezerowymi) wektorami x,y jest wyrażenie:

\measuredangle(x,y) = \operatorname{acos}\tfrac{(x,y)}{|x|\cdot|y|}

Dostaniemy wówczas

|c|^2 =  |a|^2 + |b|^2 - 2(a,b) =  |a|^2 + |b|^2 - 2|a|\cdot|b|\cdot \cos \gamma \quad \gamma=\measuredangle(a,b)

W przestrzeni unitarnej (rzeczywistej) można zdefiniować takie pojęcia, jak

  • prosta, płaszczyzna (warstwy względem podprzestrzeni)
  • odcinek, półprosta, półpłaszczyzna (porządek ciała skalarów)
  • odległość (norma różnicy wektorów) itd.

Czyli można wymodelować całą klasyczną, aksjomatycznie wprowadzoną geometrię. Każda taka definicja wymaga jednak dowodu zgodności własności definiowanego pojęcia z aksjomatyką klasycznej geometrii. Aby móc w pełni kojarzyć powyższy wzór cosinusów z klasycznym twierdzeniem cosinusów należy o wyrażeniu \operatorname{acos}\tfrac{(x,y)}{|x|\cdot|y|} udowodnić co najmniej:

  • funkcja istnieje tzn. -1\leqslant \tfrac{(x,y)}{|x|\cdot|y|}\leqslant1 (nierówność Schwartza)
  • \measuredangle(x,y) =0 wtedy i tylko wtedy, gdy x,y są liniowo zależne
  • jest addytywna dla trzech wektorów liniowo zależnych. Jeśli y leży "między" wektorami x,z to miara sumy kątów jest sumą miar. y=t_1x+t_2z \quad dla \quad t_i>0 \Rightarrow  \measuredangle(x,z)=\measuredangle(x,y)+\measuredangle(y,z))
  • warunek \tfrac{(x,y)}{|x|\cdot|y|}=0 odpowiada prostopadłości prostych (np. każde dwa kąty proste są przystające, przez dowolny punkt przechodzi dokładnie jedna prosta prostopadła do danej, prostopadła do prostopadłej jest równoległa itd.)
  • funkcja \tfrac{(x,y)}{|x|\cdot|y|} jest niezmiennikiem izometrii przestrzeni unitarnej (to jest łatwe) i odwrotnie - równość tej funkcji dla dwóch par wektorów (z dokładnością do ich normy) gwarantuje istnienie izometrii

Dodajmy jeszcze, że w przestrzeni afinicznej skojarzonej przestrzenią unitarną przybrałoby to dla pewnych punktów A,B,C następującą postać

|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 - 2|\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CA}|\cdot \cos\gamma\quad \gamma=\measuredangle(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})

Uwaga dotycząca dowodów twierdzenia cosinusów[edytuj | edytuj kod]

W matematyce "szkolnej" postępuje się dokładnie odwrotnie. W niej geometrię uprawia się na bazie klasycznej aksjomatyki. Wprowadzając czyli definiując formalizm wektorowy można wymodelować przestrzeń unitarną.

Wygląda to zazwyczaj tak:

  • wektorem jest uporządkowana para punktów, jego długością jest odległość między początkiem i końcem. Wektorem swobodnym jest klasa abstrakcji wektorów leżących na prostych równoległych i mających identyczne długości i zwroty.
  • dodawanie wektorów definiuje się np. za pomocą reguły równoległoboku.
  • mnożenie wektorów przez liczbę jest przedłużaniem (bądź skracaniem) jego długości wg danego mnożnika liczbowego.
  • mnożenie skalarne wektorów określa się jako iloczyn ich długości i cosinusa kąta między nimi.

Elegancja formalizmu wektorowego pozwala wygodnie zilustrować twierdzenie cosinusów. Rodzi też pokusę użycia go w dowodzie tego twierdzenia. Ryzyko w takim postępowaniu polega na tym, że wykazanie, iż wymodelowana struktura wektorowa jest faktycznie przestrzenią unitarną wymaga np. dowodu rozdzielności mnożenia skalarnego względem dodawania wektorów a tego bez klasycznego tw. cosinusów (lub czegoś równoważnego) nie da się przeprowadzić. Można więc dowodząc tw. cosinusów nieświadomie powołać się właśnie na tw. cosinusów, a w najlepszym razie, przy zachowaniu ostrożności (odwołując się np. do tw. Pitagorasa) można dostać dowód poprawny, ale bardzo "okrężny".

Wzory cosinusów w geometriach nieeuklidesowych[edytuj | edytuj kod]

Omawiane wyżej twierdzenie cosinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej czyli tzw. geometrii płaskiej. W geometriach nieeuklidesowych ma ono swoje odpowiedniki w postaci dwóch dualnych względem siebie wzorów. Ich dualność polega na tym, że jeden z nich można otrzymać z drugiego przez zamianę miary kąta na miarę dualnego (przeciwległego) boku i odwrotnie.

W geometrii eliptycznej mamy wzory:

\cos c = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma
\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c

Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii). Może ten dowód posłużyć także do wykazania wzoru drugiego - wystarczy przeprowadzić go na trójkącie dualnym, jeśli dualność zrealizujemy dopełnienieniem ortogonalnym.

Powyższe dwa wzory obowiązują np. dla trójkątów sferycznych. Wiążą one długości boków dowolnego trójkąta sferycznego z kątami między tymi bokami. Można więc zastosować je także dla trzech półprostych o wspólnym początku umieszczonych w przestrzeni celem badania kątów między nimi i między płaszczyznami wyznaczonymi przez każde dwie z nich.

Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną dostaniemy:

\cosh c = \cosh a \cdot \cosh b - \sinh a \cdot \sinh b \cdot \cos \gamma
\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cosh c

Tutaj a,b,c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast funkcji trygonometrycznej używamy odpowiedniej funkcji hiperbolicznej. Dowód pierwszego wzoru znajdujący się w [2] jest przeprowadzony nie w modelu, ale bezpośrednio z aksjomatów geometrii hiperbolicznej (wewnątrz teorii).

Z ostatniego z tych wzorów można wyciągnąć ciekawy wniosek - wystarczy ten wzór zastosować do trójkąta prostokątnego z jednym wierzchołkiem w "nieskończoności" czyli spełniającego: γ=0, β=π/2. Dostaniemy wówczas zależność 1=sinα cosh c, którą można przekształcić do równoważnej postaci \alpha = 2\cdot \operatorname{atan} ( e^{-c}) znanej jako funkcja Łobaczewskiego.

Zauważmy, że drugi wzór z geometrii eliptycznej i drugi z geometrii hiperbolicznej oferują coś, co jest niemożliwe w geometrii euklidesowej - pozwalają one wyliczyć długość dowolnego boku trójkąta na podstawie znajomości jedynie kątów tego trójkąta.

Spostrzeżenie, że \cos(ix) = \cosh(x),\sin(ix) = i\cdot \sinh(x) umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz k=\sqrt{K}, to otrzymamy następujący wzór:

 \cos (kc)= \cos (ka)\cdot\cos (kb) +\sin (ka)\cdot\sin (kb)\cdot\cos\gamma

  • Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu \tfrac{1}{k}.
  • Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym \tfrac{1}{|k|}. Ponieważ \tfrac{1}{k} jest tutaj urojony więc można też

ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym \tfrac{1}{\sqrt{-|K|}}=\tfrac{1}{i\cdot\sqrt{|K|}} . Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.

Twierdzenie cosinusów dla sfery[edytuj | edytuj kod]

Triang150.PNG
Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, γ jest kątem między odcinkami-bokami a,b to zachodzi wzór
\cos c = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma
Dowód

Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.

Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.

Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x,y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli

xy = \cos c\;
xz = \cos b\;
yz = \cos a\;

Jeśli mamy dwa punkty na sferze, będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako  x \times y. Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y czyli sinusowi długości odcinka

|x \times y| = \sin c
|x \times z| = \sin b
|y \times z| = \sin a

Rozważmy wyrażenie:

 (x \times z)(z \times y)

Z jednej strony powyższy iloczyn skalarny ma wartość równą iloczynowi długości obu czynników oraz cosinusowi kąta między obu czynnikami czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach z,y. Ten ostatni kąt jest oczywiście równy γ:

 (x \times z)(y \times z) = |x\times z|\cdot |y\times z|\cdot \cos\gamma  =  \sin b \cdot \sin a \cdot \cos \gamma

Z drugiej strony, na mocy tożsamości Lagrange'a (p \times q)(r\times s) = pr \cdot qs - qr \cdot ps dostajemy:

(x \times z) (y \times z) = xy \cdot zz - zy \cdot xz = \cos c - \cos a \cdot \cos b

Twierdzenie cosinusów dla czworościanu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli w czworościanie o wierzchołkach a,b,c,d przez A,B,C,D\; oznaczymy pola ścian leżących naprzeciw wierzchołków odpowiednio a,b,c,d, z kolei przez \widehat{BC}, \widehat {BD}, \widehat {CD} oznaczymy kąty krawędziowe między odpowiednimi ścianami to
A^2  =  B^2 +C^2 +D^2 - 2(  BC\cdot \cos \widehat{BC} + BD \cdot \cos \widehat{BD} + CD \cdot \cos \widehat{CD} )

Twierdzenie cosinusów dla kąta trójściennego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \alpha, \beta, \gamma są kątami płaskimi przy wierzchołku S czworścianu SABC odpowiednio między ramionami: SB i SC, SA i SC, SA i SB, zaś \alpha', \beta', \gamma' kątami dwuściennymi leżącymi naprzeciw nich, czyli kątami krawędziowymi SA, SB, SC. Wówczas zachodzą wzory (I twierdzenie cosinusów):

\cos{\alpha}=\cos{\beta} \cos{\gamma} + \sin{\beta} \sin{\gamma} \cos{\alpha'}
\cos{\beta}=\cos{\gamma} \cos{\alpha} + \sin{\gamma} \sin{\alpha} \cos{\beta'}
\cos{\gamma}=\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta} \cos{\gamma'}

oraz wzory (II twierdzenie cosinusów):

\cos{\alpha'}=-\cos{\beta'} \cos{\gamma'} + \sin{\beta'} \sin{\gamma'} \cos{\alpha}
\cos{\beta'}=-\cos{\gamma'} \cos{\alpha'} + \sin{\gamma'} \sin{\alpha'} \cos{\beta}
\cos{\gamma'}=-\cos{\alpha'} \cos{\beta'} + \sin{\alpha'} \sin{\beta'} \cos{\gamma}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. We Francji twierdzenie to znane jest również jako twierdzenie al-Kashiego.
  2. Stefan Kulczycki "Geometrie nieeuklidesowe" Biblioteka Problemów PWN Warszawa 1956