Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie , twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej – twierdzenie w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.
Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.
W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:
|
A
D
|
|
D
B
|
=
|
A
C
|
|
B
C
|
.
{\displaystyle {\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}.}
Z punktu
A
{\displaystyle A}
półprostą prostopadłą do dwusiecznej
C
D
{\displaystyle CD}
O
,
{\displaystyle O,}
B
C
{\displaystyle BC}
B
′
.
{\displaystyle B'.}
|
A
O
|
=
|
O
B
′
|
{\displaystyle |AO|=|OB'|}
|
A
C
|
=
|
B
′
C
|
.
{\displaystyle |AC|=|B'C|.}
Następnie należy poprowadzić przez
B
′
{\displaystyle B'}
równoległą do boku
A
B
{\displaystyle AB}
C
D
{\displaystyle CD}
D
′
.
{\displaystyle D'.}
Δ
A
D
O
{\displaystyle \Delta ADO}
Δ
B
′
D
′
O
{\displaystyle \Delta B'D'O}
przystające , a więc
|
D
′
B
′
|
=
|
A
D
|
.
{\displaystyle |D'B'|=|AD|.}
Δ
D
B
C
{\displaystyle \Delta DBC}
Δ
D
′
B
′
C
{\displaystyle \Delta D'B'C}
|
D
′
B
′
|
|
D
B
|
=
|
B
′
C
|
|
B
C
|
,
{\displaystyle {\frac {|D'B'|}{|DB|}}={\frac {|B'C|}{|BC|}},}
czyli
|
A
D
|
|
D
B
|
=
|
A
C
|
|
B
C
|
.
{\displaystyle {\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}.}
Niech:
|
A
C
|
=
b
,
{\displaystyle |AC|=b,}
|
B
C
|
=
a
,
{\displaystyle |BC|=a,}
|
A
D
|
=
m
,
{\displaystyle |AD|=m,}
|
B
D
|
=
n
,
{\displaystyle |BD|=n,}
∠
A
C
D
=
x
,
{\displaystyle \angle ACD=x,}
∠
A
D
C
=
y
.
{\displaystyle \angle ADC=y.}
Na mocy twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów
Δ
A
D
C
{\displaystyle \Delta ADC}
Δ
D
B
C
{\displaystyle \Delta DBC}
m
sin
x
=
b
sin
y
,
{\displaystyle {\frac {m}{\sin x}}={\frac {b}{\sin y}},}
a także
n
sin
x
=
a
sin
(
π
−
y
)
=
a
sin
y
.
{\displaystyle {\frac {n}{\sin x}}={\frac {a}{\sin(\pi -y)}}={\frac {a}{\sin y}}.}
Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymuje się tezę:
m
n
=
b
a
.
{\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {b}{a}}.}
Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli
P
Δ
A
D
C
P
Δ
D
B
C
=
m
n
.
{\displaystyle {\frac {P_{\Delta ADC}}{P_{\Delta DBC}}}={\frac {m}{n}}.}
1
2
b
C
D
sin
x
1
2
a
C
D
sin
x
=
b
a
.
{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}bCD\sin x}{{\frac {1}{2}}aCD\sin x}}={\frac {b}{a}}.}
Stąd
m
n
=
b
a
,
{\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {b}{a}},}
Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli
D
{\displaystyle D}
B
C
{\displaystyle BC}
A
{\displaystyle A}
|
B
D
|
|
D
C
|
=
|
A
B
|
sin
∠
D
A
B
|
A
C
|
sin
∠
D
A
C
.
{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}
Spodki wysokości w trójkątach
A
B
D
{\displaystyle ABD}
A
C
D
{\displaystyle ACD}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
B
1
{\displaystyle B_{1}}
C
1
.
{\displaystyle C_{1}.}
|
B
B
1
|
=
|
A
B
|
sin
∠
B
A
D
,
{\displaystyle |BB_{1}|=|AB|\sin \angle BAD,}
|
C
C
1
|
=
|
A
C
|
sin
∠
C
A
D
.
{\displaystyle |CC_{1}|=|AC|\sin \angle CAD.}
Ponadto zarówno kąt
D
B
1
B
,
{\displaystyle DB_{1}B,}
D
C
1
C
{\displaystyle DC_{1}C}
B
1
D
B
{\displaystyle B_{1}DB}
C
1
D
C
{\displaystyle C_{1}DC}
D
{\displaystyle D}
B
C
,
{\displaystyle BC,}
D
B
1
B
{\displaystyle DB_{1}B}
D
C
1
C
{\displaystyle DC_{1}C}
|
B
D
|
|
C
D
|
=
|
B
B
1
|
|
C
C
1
|
=
|
A
B
|
sin
∠
B
A
D
|
A
C
|
sin
∠
C
A
D
,
{\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}},}
co kończy dowód.
