Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie (twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej) jest twierdzeniem w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Teza[edytuj | edytuj kod]

Bisector theorem.svg

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

{|AD| \over |DB|} = {|AC| \over|BC|}.


Dowód[edytuj | edytuj kod]

Sposób 1.[edytuj | edytuj kod]

Bisector plain2.svg

Z punktu A prowadzimy półprostą prostopadłą do dwusiecznej CD w punkcie O, przecina ona również przedłużenie boku BC w pewnym punkcie B'. Zauważmy, że |AO| = |OB'| i |AC| = |B'C|.

Poprowadźmy przez B' prostą równoległą do boku AB – przecina ona prostą CD w pewnym punkcie D'. Trójkąty \Delta ADO i \Delta B'D'Oprzystające, a więc |D'B'| = |AD|. Z podobieństwa trójkątów \Delta DBC i \Delta D'B'C wynika teraz, że:

{|D'B'| \over |DB|} = {|B'C| \over |BC|},

czyli

{|AD| \over |DB|} = {|AC| \over |BC|}

Sposób 2.[edytuj | edytuj kod]

Bisector theorem2.svg

Niech:

|AC| = b,
|BC| = a,
|AD| = m,
|BD| = n,
\angle ACD = x,
\angle ADC = y.

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów \Delta ADC i \Delta DBC mamy:

{m \over \sin x} = {b \over \sin y},

a także

{n \over \sin x} = {a \over \sin(\pi-y)} = {a \over \sin y}.

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymujemy tezę: {m \over n} = {b \over a}.

Sposób 3[edytuj | edytuj kod]

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli \frac{P_{\Delta adc}}{P_{\Delta dbc}}=\frac{m}{n}. Lewą stronę można zapisać jako \frac{\frac{1}{2} b CD\sin x}{\frac{1}{2} a CD\sin x}=\frac{b}{a}. Stąd \frac{m}{n}=\frac{b}{a}, co należało wykazać.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Bisekt.svg

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli D leży na prostej BC, i punkt A na niej nie leży, to

{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|  \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}

Dowód uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Spodki wysokości w trójkątach ABD i ACD z odpowiednio wierzchołków B i C oznaczmy odpowiednio jako B1 i C1.

Wtedy:

|BB_1|=|AB|\sin \angle BAD
|CC_1|=|AC|\sin \angle CAD

Ponadto zarówno kąt DB1B, jak i DC1C są proste, a kąty B1DB i C1DC są wierzchołkowe, jeśli D leży na odcinku BC, a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty DB1B i DC1C są podobne, a więc:

{\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}

Co kończy dowód.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]