Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie (twierdzenie o rzucie boku w trójkącie w kierunku dwusiecznej) jest twierdzeniem w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

${|AD| \over |DB|} = {|AC| \over|BC|}$.

Dowód

Sposób 1.

Z punktu $A$ prowadzimy półprostą prostopadłą do dwusiecznej $CD$ w punkcie $O$, przecina ona również przedłużenie boku $BC$ w pewnym punkcie $B'$. Zauważmy, że $|AO| = |OB'|$ i $|AC| = |B'C|$.

Poprowadźmy przez $B'$ prostą równoległą do boku $AB$ – przecina ona prostą $CD$ w pewnym punkcie $D'$. Trójkąty $\Delta ADO$ i $\Delta B'D'O$ są przystające, a więc $|D'B'| = |AD|$. Z podobieństwa trójkątów $\Delta DBC$ i $\Delta D'B'C$ wynika teraz, że:

${|D'B'| \over |DB|} = {|B'C| \over |BC|}$,

czyli

${|AD| \over |DB|} = {|AC| \over |BC|}$

Sposób 2.

Niech:

$|AC| = b,$

$|BC| = a,$

$|AD| = m,$

$|BD| = n,$

$\angle ACD = x,$

$\angle ADC = y.$

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów $\Delta ADC$ i $\Delta DBC$ mamy:

${m \over \sin x} = {b \over \sin y},$

a także

${n \over \sin x} = {a \over \sin(\pi-y)} = {a \over \sin y}.$

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymujemy tezę: ${m \over n} = {b \over a}$.

Sposób 3

Stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw, czyli $\frac{P_{\Delta adc}}{P_{\Delta dbc}}=\frac{m}{n}$. Lewą stronę można zapisać jako $\frac{\frac{1}{2} b CD\sin x}{\frac{1}{2} a CD\sin x}=\frac{b}{a}$. Stąd $\frac{m}{n}=\frac{b}{a}$, co należało wykazać.

Uogólnienie

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli D leży na prostej BC, i punkt A na niej nie leży, to

${\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}$

Dowód uogólnienia

Spodki wysokości w trójkątach ABD i ACD z odpowiednio wierzchołków B i C oznaczmy odpowiednio jako B₁ i C₁.

Wtedy:

$|BB_1|=|AB|\sin \angle BAD$

$|CC_1|=|AC|\sin \angle CAD$

Ponadto zarówno kąt DB₁B, jak i DC₁C są proste, a kąty B₁DB i C₁DC są wierzchołkowe, jeśli D leży na odcinku BC, a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty DB₁B i DC₁C są podobne, a więc:

${\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}$

Co kończy dowód.

Zobacz też

• Twierdzenie o kącie zewnętrznym