Twierdzenie o granicy funkcji złożonej

Twierdzenie o granicy funkcji złożonej – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające znaleźć granicę funkcji złożonych.

Założenia

• Dziedzina funkcji $f$ zawiera zbiór wartości funkcji $g$ w przedziale otwartym zawierającym $x_{0}.$
• Funkcja $g$ ma w $x_{0}$ granicę $y_{0}.$
• $y_{0}$ jest punktem skupienia dziedziny funkcji $f.$
• Funkcja $f$ ma w $y_{0}$ granicę $z.$
• W dowolnym (dowolnie małym) otoczeniu $x_{0}$ istnieją punkty, w których funkcja $g$ przyjmuje wartości różne od $y_{0}.$

Teza

Wówczas $\lim _{x\to x_{0}}f(g(x))$ istnieje i jest równa $z.$

Przykład na istotność ostatniego założenia:

$g(x)\equiv 1$

$f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{dla }}x=1,\\0&{\mbox{dla }}x\neq 1.\end{cases}}$

Wówczas założenie nie jest spełnione i $\lim _{x\to 0}f(g(x))=1\neq 0=\lim _{y\to 1}f(y).$