Twierdzenie o izomorfizmie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o izomorfizmie – jedno z twierdzeń matematycznych szeroko stosowanych w algebrze uniwersalnej mówiących o istnieniu pewnych naturalnych izomorfizmów.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia o izomorfizmie zostały sformułowane w pewnej ogólności dla homomorfizmów modułów przez Emmy Noether w jej dziele Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern opublikowanej w 1927 w Mathematische Annalen. Mniej ogólne wersje tych twierdzeń mogą być znalezione w pracach Richarda Dedekinda i wcześniejszych dziełach Noether.

Trzy lata później B.L. van der Waerden wydał swoją doniosłą Algebrę, pierwszy podręcznik algebry abstrakcyjnej, który podjął, teraz tradycyjne, podejście do przedmiotu: grupy-pierścienie-ciała. Van der Waerden wskazał jako swoje główne źródła wykłady z teorii grup u Noether i algebry u Emila Artina oraz seminarium prowadzone przez Artina, Wilhelma Blaschke, Ottona Shreiera i samego van der Waerdena dotyczące ideałów. Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane twierdzeniem o homomorfizmie oraz, w odniesieniu do grup, dwoma prawami izomorfizmów.

Grupy[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia o izomorfizmie zostaną najpierw wyrażone dla grup, gdzie przyjmują prostszą postać i wyrażają ważne własności grup ilorazowych. Wszystkie trzy dotyczą „dzielenia” przez podgrupę normalną.

Pierwsze twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli G,\ H są grupami, a

f\colon G \to H

jest homomorfizmem to

Jeżeli ciąg rozszczepia się, to G jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu G na sumę prostą.

Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie)[edytuj | edytuj kod]

Niech

H, K będą podgrupami G i
H będzie podgrupą normalną G.

Wówczas

Iloczyn HK grup H oraz K jest podgrupą w G,
H \cap K jest podgrupą normalną w K, a
HK/H jest izomorficzna z K/(H \cap K).

Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie)[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli

M, N są podgrupami normalnymi w G,
takimi, że M zawiera się w N,

to

M jest podgrupą normalną w N,
N/M jest podgrupą normalną w G/M, a
(G/M)/(N/M) jest izomorficzna z G/N.

Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.

Pierścienie i moduły[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia o izomorfizmie zachodzą również dla modułów nad ustalonym pierścieniem R (a więc również i dla przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem). Należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „R-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „podmoduł”, a „grupa ilorazowa” na „moduł ilorazowy”.

W przypadku przestrzeni liniowych pierwsze twierdzenie o izomorfizmie nosi nazwę twierdzenia o rzędzie.

Twierdzenia o izomorfizmie zachodzą także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i ideałów. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „pierścień ilorazowy”.

We wspomnianych dwóch przypadkach notacja supremum to „H + K”, nie zaś „HK”.

Ogólnie[edytuj | edytuj kod]

Aby uogólnić ten wynik na algebrę uniwersalną, podgrupy normalne muszą być zastąpione kongruencjami.

Krótko, jeżeli A jest algebrą uniwersalną, to kongruencją na A jest relacja równoważności \Phi określona na A, która jest podalgebrą, gdy jest ona rozpatrywana jako podzbiór A \times A (z działaniami określonymi po współrzędnych). Zbiór klas równoważności A/\Phi może być przekształcony w algebrę tego samego typu poprzez zdefiniowanie działań na reprezentantach; będą one dobrze określone, ponieważ \Phi jest podalgebrą A \times A.

Pierwsze twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli A, B są algebrami, a f homomorfizmem z A do B, to relacja równoważności \Phi określona na A wzorem

a \sim b \iff f(a) = f(b) jest kongruencją na A, zaś algebra A/\Phi jest izomorficzna z obrazem f, czyli podalgebrą w B.

Drugie twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Dla danej algebry A i jej podalgebry B oraz kongruencji określonej na A, niech [B]\Phi będzie podzbiorem A/\Phi wyznaczanym przez wszystkie klasy kongruencji zawierające element z B. Symbol \Phi_B będzie oznaczał przecięcie \Phi (rozpatrywane jako podzbiór A \times A) z B \times B. Wówczas [B]\Phi jest podalgebrą A/\Phi, a \Phi_B jest kongruencją na B i wreszcie algebra [B]\Phi jest izomorficzna z algebrą B/\Phi_B.

Trzecie twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech A będzie algebrą, a \Phi oraz \Psi będą dwoma relacjami kongruencji określonymi na A, gdzie \Psi zawiera się w \Phi. Wówczas \Phi wyznacza kongruencję \Theta na A/\Psi określoną wzorem

[a]_\Psi \sim [b]_\Psi \iff a \sim_\Phi b, a A/\Phi jest izomorficzna z (A/\Psi)/\Theta.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) p. 26-61
  • Colin McLarty (pod redakcją Jeremy'ego Graya i José Ferreirósa), The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy - Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors, Oxford University Press (2006) p. 211–35.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]