Twierdzenie o pizzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
8 kawałków: pole żółte = pole fioletowe.
Dowód podany przez Cartera i Wagona w 1994 r.[1]

Twierdzenie o pizzy (ang. pizza theorem) – twierdzenie mówiące o równości dwóch fragmentów koła przy odpowiednim jego podziale: koło należy podzielić na n kawałków (gdzie n jest liczbą naturalną większą bądź równą od 8 i podzielną przez 4) liniami prostymi przecinającymi się w punkcie p (dowolny punkt zawarty w tym kole) pod równymi kątami (kąty wynoszą 360°/n). Suma powierzchni fragmentów nieparzystych (zaczynając od dowolnego) jest równa sumie powierzchni fragmentów parzystych[2].

Twierdzenie to wzięło swoją nazwę od podobieństwa powyższego podziału koła do podziału pizzy na kawałki przez dwie osoby tak, aby był sprawiedliwy.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 3 osoby.

Mabry i Deiermann (2009)[3] rozwiązali problem Cartera i Wagona (1994)[4] i uściślili twierdzenie, określając który z dwóch zestawów jest większy w przypadku, gdy obszary te są nierówne. Jeśli n mod 8 = 2 oraz żadne cięcie nie przechodzi przez środek koła to podzbiór sektorów z sektorem zawierającym centrum ma mniejszą powierzchnię niż drugi podzbiór. Jeśli n mod 8 = 6 i żadne cięcie nie przechodzi przez środek, to podzbiór z sektorem zawierającym środek ma większy obszar. Nieparzystej liczby sektorów nie da się uzyskać w wyniku cięć prostoliniowych, a cięcie przez środek powoduje, że oba podzbiory są równe bez względu na liczbę sektorów.

Hirschhorn zauważył również, że n kawałków pizzy (dla n podzielnego przez 4) można rozdzielić po równo między n/4 osób[5], np. 12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 12/4=3 osoby.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Larry Carter, Stan Wagon. Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza. „Mathematics Magazine”. 67 (4), 1994 (ang.). 
  2. L. J. Upton. Problem 660. „Mathematics Magazine”. 41 (1), s. 41, 1968 (ang.).  Solution by Michael Goldberg
  3. Rick Mabry, Paul Deiermann. Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results. „American Mathematical Monthly”. 116 (5), s. 423–438, 2009 (ang.). 
  4. Larry Carter, Stan Wagon. Problem 1457. „Mathematics Magazine”. 67 (4), 1994 (ang.). 
  5. J. Hirschhorn, M. D. Hirschhorn, J. K. Hirschhorn, A. D. Hirschhorn i inni. The pizza theorem. „Austral. Math. Soc. Gaz.”. 26, s. 120–121, 1999 (ang.).