Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – Niech $(\Omega, \mathcal F, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś $I \subseteq N$ zbiorem wskaźników. Jeżeli zdarzenia $H_i \in \mathcal F,\, i \in I$ są rozbiciem $\Omega$ na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, czyli:

• $H_i\cap H_j = \varnothing$ dla $i, j \in I, i \neq j$,
• $\bigcup_{i \in I}\, H_i = \Omega$,
• $\forall_{i \in I}\, P(H_i)>0$,

to dla dowolnego zdarzenia $A \in \mathcal F$:

$P(A)=\sum_{i \in I} P(A|H_i)P(H_i)$,

gdzie symbol $P(A|H_i)$ oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $H_i$.

Zdarzenia $H_i$ nazywa się czasem hipotezami.

Dowód

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa mamy

$P(A) = P \left( \bigcup_{i \in I} A \cap H_i \right) = \sum_{i \in I} P(A \cap H_i) = \sum_{i \in I}~P(A|H_i)P(H_i)$.

Zastosowania

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie - zgodnie ze swą nazwą - pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% procentach przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

${P(A)=P(A|B_1)}\cdot{P(B_1)}+{P(A|B_2)}\cdot{P(B_2)}={99 \over 100}\cdot{6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot{4 \over 10}={{594 + 380} \over 1000}={974 \over 1000}$

gdzie

• $P(B_1)={6 \over 10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
• $P(B_2)={4 \over 10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia , że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
• $P(A|B_1)={99 \over 100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
• $P(A|B_2)={95 \over 100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym

Teza

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie $B \in \mathcal F$ dla którego $P(B)>0$. Zachodzi wtedy wzór

$P(A|B)=\sum_{i \in I} P(A|B \cap H_i)P(H_i|B)$.

Dowód

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę otrzymując w ten sposób lewą lub też zauważyć, iż $P(\cdot|B)=P_B(\cdot)$ jest prawdopodobieństwem. Jest więc sens mówić o $P_B(A|C)$ – prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $C$, gdy wiemy, że zaszło zdarzenie $B$. Zachodzi równość:

$P_B(A/H)={P_B(A \cap H) \over P_B(H)}={P(A \cap H \cap B)/P(B) \over P(H \cap B)/P(B)}=P(A|H \cap B)$.

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa $P_B(\cdot)$.

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa
• wzór Bayesa