Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym – Niech (\Omega, \mathcal F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś I \subseteq N zbiorem wskaźników. Jeżeli zdarzenia H_i \in \mathcal F,\, i \in Irozbiciem \Omega na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, czyli:

  • H_i\cap H_j = \varnothing dla i, j \in I, i \neq j,
  • \bigcup_{i \in I}\, H_i = \Omega,
  • \forall_{i \in I}\, P(H_i)>0,

to dla dowolnego zdarzenia A \in \mathcal F: [1]


P(A)=\sum_{i \in I} P(A|H_i)P(H_i),

gdzie symbol P(A|H_i) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie H_i.

Zdarzenia H_i nazywa się czasem hipotezami.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa mamy

P(A) = P \left( \bigcup_{i \in I} A \cap H_i \right) = \sum_{i \in I} P(A \cap H_i) = \sum_{i \in I}~P(A|H_i)P(H_i).

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie - zgodnie ze swą nazwą - pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% procentach przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% żarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

{P(A)=P(A|B_1)}\cdot{P(B_1)}+{P(A|B_2)}\cdot{P(B_2)}={99 \over 100}\cdot{6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot{4 \over 10}={{594 + 380} \over 1000}={974 \over 1000}

gdzie

  • P(B_1)={6 \over 10} to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
  • P(B_2)={4 \over 10} to prawdopodobieństwo zdarzenia , że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
  • P(A|B_1)={99 \over 100} to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
  • P(A|B_2)={95 \over 100} to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym[edytuj | edytuj kod]

Teza[edytuj | edytuj kod]

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie B \in \mathcal F dla którego P(B)>0. Zachodzi wtedy wzór

P(A|B)=\sum_{i \in I} P(A|B \cap H_i)P(H_i|B).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę otrzymując w ten sposób lewą lub też zauważyć, iż P(\cdot|B)=P_B(\cdot) jest prawdopodobieństwem. Jest więc sens mówić o P_B(A|C) – prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia C, gdy wiemy, że zaszło zdarzenie B. Zachodzi równość:

P_B(A/H)={P_B(A \cap H) \over P_B(H)}={P(A \cap H \cap B)/P(B) \over P(H \cap B)/P(B)}=P(A|H \cap B).

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa P_B(\cdot).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy