Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga

Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga – odpowiednik twierdzenia Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a dla algebr Heytinga. Twierdzenie to mówi, że każda algebra Heytinga jest izomorficzna z pewną podalgebrą topologicznej algebry Heytinga swojej przestrzeni Stone’a.

Twierdzenie

Definicja ${\boldsymbol {\Phi }}$ oraz przestrzeni Stone’a dla algebry Heytinga ${\mathcal {H}}$

Niech ${\mathcal {H}}$ będzie algebrą Heytinga z uniwersum $H.$ Algebry Heytinga są wzbogaceniem krat rozdzielnych, a więc na mocy twierdzenia o reprezentacji dla krat rozdzielnych odwzorowanie ${\boldsymbol {\Phi }}\colon H\to \wp {\big (}{\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}{\big )}$ dane wzorem

${\boldsymbol {\Phi }}(a):=\{F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}:\,a\in F\}$

jest izomorfizmem krat.

W szczególności jest ono także izomorfizmem krat ograniczonych, ponieważ

${\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\varnothing ,\,{\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.$

Niech teraz ${\mathcal {T}}$ będzie najmniejszą topologią na ${\mathcal {S}}_{\mathcal {H}},$ w której wartościami odwzorowania ${\boldsymbol {\Phi }}$ są zbiory otwarte. Okazuje się, że ${\boldsymbol {\Phi }}(H)$ jest bazą tej przestrzeni.

Topologię tę nazywamy topologią Stone’a. Przestrzeń $\langle {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}},{\mathcal {T}}\rangle$ nazywamy przestrzenią Stone’a algebry ${\mathcal {H}}.$

${\boldsymbol {\Phi }}$ jest homomorfizmem algebr Heytinga ${\mathcal {H}}$ i algebry topologicznej ${\mathcal {H}}_{\mathcal {T}}.$

Należy jeszcze pokazać, że ${\boldsymbol {\Phi }}$ zachowuje działanie $\mathbf {C} ^{\mathcal {H}},$ czyli że

${\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)={\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).$

Skoro ${\boldsymbol {\Phi }}$ jest izomorfizmem krat, to

${\boldsymbol {\Phi }}(a)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)={\boldsymbol {\Phi }}{\big (}a\sqcap (a\to b){\big )}\leqslant {\boldsymbol {\Phi }}(b),$ skąd ${\boldsymbol {\Phi }}(a\to b)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).$

Dla dowodu inkluzji przeciwnej, niech $x\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b).$ Wówczas, skoro ${\boldsymbol {\Phi }}{\grave {}}\,{\grave {}}|{\mathcal {H}}|$ jest bazą topologii Stone’a, istnieje $c\in |{\mathcal {H}}|,$ dla którego

$x\in {\boldsymbol {\Phi }}(c)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a)\Rightarrow {\boldsymbol {\Phi }}(b)\subseteq \smallsetminus {\boldsymbol {\Phi }}(a)\cup {\boldsymbol {\Phi }}(b),$ skąd ${\boldsymbol {\Phi }}(c)\cap {\boldsymbol {\Phi }}(a)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(b),$ czyli ${\boldsymbol {\Phi }}(c\sqcap a)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(b).$

Ponieważ ${\boldsymbol {\Phi }}$ jest izomorfizmem, znaczy to, że $c\sqcap a\leqslant b,$ czyli, że $c\leqslant a\to b,$ a stąd $x\in {\boldsymbol {\Phi }}(c)\subseteq {\boldsymbol {\Phi }}(a\to b),$ co było do pokazania.

Wymiar i topologia przestrzeni Stone’a

Załóżmy teraz, że ${\mathcal {H}}$ jest wzbogaceniem algebry Boole’a.

Wówczas:

1. Każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem.
2. Jeśli $a\not \in F,$ to $\neg a\in F,$ dla $F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.$

Stąd wynika, po pierwsze, że przestrzeń Stone’a jest zerowymiarowa, bo jej baza ${\boldsymbol {\Phi }}(H),$ składa się z elementów otwarto-domkniętych, co wynika stąd, że $\smallsetminus {\boldsymbol {\Phi }}(a)={\boldsymbol {\Phi }}(\neg a),\;a\in H,.$

Jeśli teraz $F,G\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}$ są różne, to istnieją $f\in F\setminus G$ i $g\in G\setminus F.$ Wówczas też jednak $\neg f\in G$ i $\neg g\in F,$ skąd $f\sqcap \neg g\in F$ i $g\sqcap \neg f\in G.$ Oczywiście $F\in {\boldsymbol {\Phi }}(f\sqcap \neg g)$ oraz $G\in {\boldsymbol {\Phi }}(g\sqcap \neg f),$ zaś zbiory ${\boldsymbol {\Phi }}(f\sqcap \neg g)$ i ${\boldsymbol {\Phi }}(g\sqcap \neg f)$ są rozłączne. W ten sposób pokazaliśmy, że przestrzeń Stone’a jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.

Zwartość przestrzeni Stone’a

Załóżmy teraz, że $(\star )\;{\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}=\bigcup \nolimits _{j\in J}{\boldsymbol {\Phi }}(a_{j})$ dla pewnej rodziny $\{a_{j}\colon j\in J\}$ elementów algebry ${\mathcal {H}}.$ Niech dalej, dla $F\subseteq |{\mathcal {H}}|,$ funkcja $\chi _{F}\colon |{\mathcal {H}}|\to \{0,1\}$ będzie funkcją charakterystyczną zbioru $F.$ Wówczas

$F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}\;\Leftrightarrow \;\chi _{F}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2}),$ gdzie ${\mathcal {B}}_{2}$ jest dwuelementową algebrą Boole’a, oraz

$F\in {\boldsymbol {\Phi }}(a)\;\Leftrightarrow \;a\in F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}\;\Leftrightarrow \;(\chi _{F}(a)=1)\wedge (F\in {\mathcal {S}}_{\mathcal {H}})\;\Leftrightarrow \;\chi _{F}\in \mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,{\grave {}}\,{\grave {}}\{1\},\;a\in |{\mathcal {H}}|,$

gdzie $\pi _{a}\colon {}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}\to \{0,1\}$ jest funkcją rzutu na $a$-tą $(a\in |{\mathcal {H}}|)$ współrzędną potęgi ${}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}$ przestrzeni dyskretnej $\{0,1\}.$ Tym samym, warunek $(\star )$ równoważny jest warunkowi $\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a_{j}}^{-1}(\{1\}_{\big ]}.$

Ponieważ produkt ${}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\}$ zwartych przestrzeni Hausdorffa, na mocy BPI, jest przestrzenią zwartą, a $\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})$ jest domknięty w ${}^{|{\mathcal {H}}|}\{0,1\},$ zaś zbiory $\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a_{j}}^{-1}(\{1\})$ są otwarte w topologii indukowanej na $\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2}),$ istnieje skończone $J_{0}\subseteq J,$ dla którego $\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})=\bigcup \nolimits _{j\in J_{0}}{\big [}\mathbf {hom} ({\mathcal {H}},{\mathcal {B}}_{2})\cap \pi _{a}^{-1}\,(\{1\}){\big ]},$ co oznacza, że ${\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}=\bigcup \nolimits _{j\in J_{0}}{\boldsymbol {\Phi }}(a_{j}).$

Pokazaliśmy zatem, że z dowolnego pokrycia bazowego przestrzeni Stone’a algebry Boole’a można wybrać podpokrycie skończone, a to oznacza, że jest ona zwarta.

Wniosek

Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z podalgebrą algebry zbiorów otwarto-domkniętych pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Uwaga

Zgodność odwzorowania Stone’a z działaniem dopełnienia kraty wynika ze związków:

${\boldsymbol {\Phi }}(\bot )=\emptyset \quad {\mbox{i}}\quad {\boldsymbol {\Phi }}(\top )={\mathcal {S}}_{\mathcal {H}}.$