Twierdzenie Carathéodory'ego (teoria miary)

Twierdzenie Carathéodory'ego – twierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miarę Lebesgue'a z miary zewnętrznej Lebesgue'a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory'ego w 1914 roku.

Twierdzenie

Niech X będzie niepustym zbiorem, a

$\mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$

będzie funkcją, dla której

$\mu^*(\varnothing) = 0$,

gdzie $\scriptstyle \mathcal P(X)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru X.

Mówi się, że zbiór A ⊆ X spełnia warunek Carathéodory'ego (względem $\scriptstyle \mu^*$), gdy dla każdego zbioru E ⊆ X zachodzi równość

$\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c).$

Wówczas rodzina $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ podzbiorów X, które spełniają warunek Carathéodory'ego względem $\scriptstyle \mu^*$, jest algebrą zbiorów, a $\scriptstyle \mu$ będąca zawężeniem $\scriptstyle \mu^*$ do $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest miarą skończenie addytywną (tzn. jest addytywna). Co więcej, jeśli $\scriptstyle \mu^*$ jest miarą zewnętrzną (tzn. jest również monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna), to $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest σ-algebrą oraz $\scriptstyle \mu^*$ zawężona do rodziny $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest miarą (tzn. jest przeliczalnie addytywna), która jest zupełna.

Dowód

Dowód składający się z pięciu części jest standardową techniką, szeroko stosowaną w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest algebrą, zaś $\scriptstyle \mu$ jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż $\scriptstyle \mu^*$ jest miarą zewnętrzną – że rodzina $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a $\scriptstyle \mu^*$ jest σ-addytywna, tzn. $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest σ-algebrą, a $\scriptstyle \mu$ określoną na niej miarą. Ostatni krok stanowi o zupełności miary $\scriptstyle \mu$.

Algebra

Należenie zbioru pustego

Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory'ego, ponieważ z założenia $\scriptstyle \mu^*$(∅) = 0 oraz

$\mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap X) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E)$

dla każdego E zawartego w X.

Zamkniętość ze względu na dopełnienia

Spełnianie warunku Carathéodory'ego jest symetryczne ze względu na dopełnienia (ze względu na przemienność dodawania i inwolutywność brania dopełnień), tzn. jeśli A spełnia warunek Carathéodory'ego, to również A^c spełnia warunek Carathéodory'ego. Wynika stąd, że rodzina $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest zamknięta ze względu na branie dopełnień.

Zamkniętość ze względu na sumy skończone

Niech A oraz B należą do $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ oraz E będzie dowolnym podzbiorem X. Zachodzą równości

$\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c)$

oraz

$\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c).$

Z tożsamości E ∩ A = E ∩ (A ∪ B) ∩ A oraz E ∩ A^c ∩ B = E ∩ (A ∪ B) ∩ A^c oraz założenia, że A spełnia warunek Carathéodory'ego wynika, iż

$\mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B),$

skąd

$\mu^*(E) = \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c) = \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) + \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)^\operatorname c\bigr).$

Dowodzi to, że A∪ B spełnia warunek Carathéodory'ego, a zatem należy do $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$.

Addytywność zawężenia

Dla danych zbiorów rozłącznych A i B należących do $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ zachodzi równość

$\mu^*(A \cup B) = \mu^*\bigl((A \cup B) \cap A\bigr) + \mu^*\bigl((A \cup B) \cap A^\operatorname c\bigr) = \mu^*(A) + \mu^*(B).$

Pokazuje to, że zawężenie $\scriptstyle \mu^*$ do rodziny $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ jest addytywną funkcją zbiorów.

σ-algebra

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Niech (A_i) będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$ oraz niech E będzie dowolnym podzbiorem zbioru X. Niech ponadto

$B_n = \bigcup_{i=1}^k A_i\;\;\;(n\in \mathbb{N})$

oraz

$B = \bigcup_{i=1}^\infty A_i.$

Ponieważ każdy ze zbiorów B_n, jako skończna suma zbiorów z $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$, spełnia warunek Carathéodory'ego, więc

$\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B_n^\operatorname c).$

Dla każdego n zachodzi inkluzja B_n ⊆ B, skąd B_n^c ⊇ B^c. Z monotoniczności $\scriptstyle \mu^*$ wynika więc, że

$\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).$

Z warunku Carathéodory'ego spełnianego przez A_n wynika, iż

$\mu^*(E \cap B_n) = \mu^*(E \cap A_n) + \mu^*(E \cap B_{n-1}),$

co na mocy indukcji zapewnia, że

$\mu^*(E \cap B_n) = \sum_{i = 1}^n \mu^*(E \cap A_i).$

Ostatecznie,

$\mu^*(E) \geqslant \sum_{i = 1}^n \mu^* (E \cap A_i) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c)\;\;\;(n\in \mathbb{N}).$

Ponieważ wzór ten zachodzi dla wszystkich n, więc z przeliczalnej podaddytywności $\scriptstyle \mu^*$ wynika, że

$\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(E \cap A_i) \geqslant \mu^*\left(\bigcup_{i = 1}^\infty (E \cap A_i)\right) = \mu^*(E \cap B),$

skąd

$\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c) \geqslant \mu^*\bigl((E \cap B) \cup (E \cap B^\operatorname c)\bigr) = \mu^*(E),$

a stąd

$\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).$

Miara

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Niech (A_i) będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$. Niech podnato B będzie takie jak wcześniej, tj. B jest sumą wszystkich zbiorów A_i. Z addytywności i monotoniczności $\scriptstyle \mu^*$ wynika, że dla dowolnego n zachodzi równość

$\mu^*(A_1) + \dots + \mu^*(A_n) = \mu^*(A_1 \cup \dots \cup A_n) \leqslant \mu^*(B),$

a więc w granicy

$\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(A_i) \leqslant \mu^*(B).$

Przeliczalna podaddytywność $\scriptstyle \mu^*$ daje nierówność w drugą stronę, skąd ostatecznie wypływa wniosek

$\mu^*(B) = \sum_{i = 1}^\infty \mu^*(A_i).$

Zupełność

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Należy wykazać, że każdy podzbiór A zbioru X spełniający warunek $\scriptstyle \mu^*(A) = 0$ należy do $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$. Niech E będzie dowolnym podzbiorem zbioru X. Wówczas

$\mu^*(E) = \mu^*\bigl((E \cap A) \cup (E \cap A^\operatorname c)\bigr) \leqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c) \leqslant \mu^*(A) + \mu^*(E) = \mu^*(E).$

Niech Z będzie podzbiorem zbioru X spełniającym warunek $\scriptstyle \mu^*(Z) = 0$ oraz niech A będzie dowolnym podzbiorem zbioru Z. Z monotoniczności $\scriptstyle \mu^*$ wynika, że $\scriptstyle 0 \leqslant \mu^*(A) \leqslant \mu^*(Z) = 0$, a więc $\scriptstyle \mu^*(A) = 0$. Ostatecznie, A należy do rodziny $\scriptstyle \mathcal C(\mu^*)$.

Zobacz też

• twierdzenie Hahna-Kołmogorowa

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. T. 18. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2001, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 3-540-90088-8.
• Vladimir Bogachev: Measure theory. T. 1. Springer, 2006. ISBN 3-540-34513-2.
• Gerald Folland: Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley-Interscience, 1999. ISBN 0-471-31716-0.
• David H. Fremlin: Measure theory. Volume 1: The Irreducible Minimum. Torres-Fremlin, 2004.

• Serge Lang: Real and Functional Analysis. Springer, 1993. ISBN 0-387-94001-4.