Twierdzenie Carathéodory'ego (teoria miary)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Carathéodory'egotwierdzenie teorii miary umożliwiające konstrukcję miary w oparciu o daną miarę zewnętrzną; bywa ono stosowane do konstrukcji miarę Lebesgue'a z miary zewnętrznej Lebesgue'a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Constantina Carathéodory'ego w 1914 roku[1].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie niepustym zbiorem oraz

\mu^*\colon P(X) \to [0, \infty]

będzie funkcją, dla której

\mu^*(\varnothing) = 0,

gdzie P(X) oznacza zbiór potęgowy zbioru X.

Mówi się, że zbiór AX spełnia warunek Carathéodory'ego (względem μ*), gdy dla każdego zbioru EX zachodzi równość

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^{\operatorname c}).

Wówczas rodzina C(μ*) podzbiorów X, które spełniają warunek Carathéodory'ego względem μ*, jest algebrą zbiorów, a μ będąca zawężeniem μ* do C(μ*) jest miarą skończenie addytywną (tzn. jest addytywna). Co więcej, jeśli μ* jest miarą zewnętrzną (tzn. jest również monotoniczna i przeliczalnie podaddytywna), to C(μ*) jest σ-algebrą oraz μ* zawężona do rodziny C(μ*) jest miarą (tzn. jest przeliczalnie addytywna), która jest zupełna.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód składający się z pięciu części jest standardową techniką, szeroko stosowaną w teorii miary. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż C(μ*) jest algebrą, zaś μ jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż μ* jest miarą zewnętrzną – że rodzina C(μ*) jest zamknięta ze względu na sumy przeliczalnie wielu zbiorów, a μ* jest σ-addytywna, tzn. C(μ*) jest σ-algebrą, a μ określoną na niej miarą. Ostatni krok stanowi o zupełności miary μ.

Algebra[edytuj | edytuj kod]

Należenie zbioru pustego
Zbiór pusty spełnia warunek Carathéodory'ego, ponieważ z założenia μ*(∅) = 0 oraz
\mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap X) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E)
dla każdego E zawartego w X.
Zamkniętość ze względu na dopełnienia
Spełnianie warunku Carathéodory'ego jest symetryczne ze względu na dopełnienia, tzn. jeśli A spełnia warunek Carathéodory'ego, to również Ac spełnia warunek Carathéodory'ego. Wynika stąd, że rodzina C(μ*) jest zamknięta ze względu na branie dopełnień.
Zamkniętość ze względu na sumy skończone
Disjoint union.png
Niech A oraz B należą do C(μ*) oraz E będzie dowolnym podzbiorem X. Zachodzą równości
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c)
oraz
\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c).
Z tożsamości EA = E ∩ (AB) ∩ A oraz EAcB = E ∩ (AB) ∩ Ac oraz założenia, że A spełnia warunek Carathéodory'ego wynika, iż
\mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B),
skąd
\mu^*(E) = \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c) = \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)\bigr) + \mu^*\bigl(E \cap (A \cup B)^\operatorname c\bigr).
Dowodzi to, że AB spełnia warunek Carathéodory'ego, a zatem należy do C(μ*).

Addytywność zawężenia[edytuj | edytuj kod]

Dla danych zbiorów rozłącznych A i B należących do C(μ*) zachodzi równość

\mu^*(A \cup B) = \mu^*\bigl((A \cup B) \cap A\bigr) + \mu^*\bigl((A \cup B) \cap A^\operatorname c\bigr) = \mu^*(A) + \mu^*(B).

Pokazuje to, że zawężenie μ* do rodziny C(μ*) jest addytywną funkcją zbiorów.

σ-algebra[edytuj | edytuj kod]

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Niech (Ai) będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do C(μ*) oraz niech E będzie dowolnym podzbiorem zbioru X. Niech ponadto

B_n = \bigcup_{i=1}^k A_i\;\;\;(n\in \mathbb{N})

oraz

B = \bigcup_{i=1}^\infty A_i.

Ponieważ każdy ze zbiorów Bn, jako skończna suma zbiorów z C(μ*), spełnia warunek Carathéodory'ego, więc

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B_n^\operatorname c).

Dla każdego n zachodzi inkluzja BnB, skąd BncBc. Z monotoniczności μ* wynika więc, że

\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).

Z warunku Carathéodory'ego spełnianego przez An wynika, iż

\mu^*(E \cap B_n) = \mu^*(E \cap A_n) + \mu^*(E \cap B_{n-1}),

co na mocy indukcji zapewnia, że

\mu^*(E \cap B_n) = \sum_{i = 1}^n \mu^*(E \cap A_i).

Ostatecznie,

\mu^*(E) \geqslant \sum_{i = 1}^n \mu^* (E \cap A_i) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c)\;\;\;(n\in \mathbb{N}).

Ponieważ wzór ten zachodzi dla wszystkich n, więc z przeliczalnej podaddytywności μ* wynika, że

\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(E \cap A_i) \geqslant \mu^*\left(\bigcup_{i = 1}^\infty (E \cap A_i)\right) = \mu^*(E \cap B),

skąd

\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c) \geqslant \mu^*\bigl((E \cap B) \cup (E \cap B^\operatorname c)\bigr) = \mu^*(E),

a stąd

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).

Miara[edytuj | edytuj kod]

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Niech (Ai) będzie przeliczalną rodziną zbiorów należących do C(μ*). Niech podnato B będzie takie jak wcześniej, tj. B jest sumą wszystkich zbiorów Ai. Z addytywności i monotoniczności μ* wynika, że dla dowolnego n zachodzi równość

\mu^*(A_1) + \dots + \mu^*(A_n) = \mu^*(A_1 \cup \dots \cup A_n) \leqslant \mu^*(B),

a więc w granicy

\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(A_i) \leqslant \mu^*(B).

Przeliczalna podaddytywność μ* daje nierówność w drugą stronę, skąd ostatecznie wypływa wniosek

\mu^*(B) = \sum_{i = 1}^\infty \mu^*(A_i).

Zupełność[edytuj | edytuj kod]

Niżej zakłada się, że μ* jest miarą zewnętrzną.

Należy wykazać, że każdy podzbiór A zbioru X spełniający warunek μ*(A) = 0 należy do C(μ*). Niech E będzie dowolnym podzbiorem zbioru X. Wówczas

\mu^*(E) = \mu^*\bigl((E \cap A) \cup (E \cap A^\operatorname c)\bigr) \leqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c) \leqslant \mu^*(A) + \mu^*(E) = \mu^*(E).

Niech Z będzie podzbiorem zbioru X spełniającym warunek μ*(Z) = 0 oraz niech A będzie dowolnym podzbiorem zbioru Z. Z monotoniczności μ* wynika, że 0 ≤ μ*(A) ≤ μ*(Z) = 0, a więc μ*(A) = 0. Ostatecznie, A należy do rodziny C(μ*).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. C. Carathéodory, Über das lineare Mass von Punktmengen, eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs. Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen (1914) 404–426.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Paul R. Halmos: Measure Theory. T. 18. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2001, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 3-540-90088-8.
  • Vladimir Bogachev: Measure theory. T. 1. Springer, 2006. ISBN 3-540-34513-2.
  • Gerald Folland: Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley-Interscience, 1999. ISBN 0-471-31716-0.
  • David H. Fremlin: Measure theory. Volume 1: The Irreducible Minimum. Torres-Fremlin, 2004.
  • Serge Lang: Real and Functional Analysis. Springer, 1993. ISBN 0-387-94001-4.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Wyd. II. PWN, 1978. ISBN 83-01-00275-1.