Twierdzenie o trzech ciągach

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o trzech ciągachtwierdzenie analizy matematycznej opisujące zachowanie ciągów zbieżnych. Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji, wówczas znane jest ono jako twierdzenie o trzech funkcjach. Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss.

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe sformułowanie tego twierdzenia jako „twierdzenia o milicjantach” (w czasie stanu wojennego w Polsce, nazwa ta funkcjonuje także w Rosji, zob. milicja w Rosji; dziś częściej mówi się o policjantach): jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenia o żandarmach”.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych a_n, b_n oraz c_n. Jeśli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich n, większych od pewnego wskaźnika N, zachodzi

a_n \leqslant b_n \leqslant c_n,

przy czym

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = g,

to wtedy także

\lim_{n \to \infty} b_n = g.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie \varepsilon > 0 Zbieżność ciągów a_n oraz c_n oznacza, że można wskazać \delta_1, \delta_2 \in \mathbb N, dla których (z własności wartości bezwzględnej) przy dowolnym n > \max(\delta_1, \delta_2) zachodzą nierówności

|a_n - g| < \varepsilon oraz |c_n - g| < \varepsilon,

skąd

- \varepsilon < a_n - g oraz c_n - g < \varepsilon,

czyli

g - \varepsilon < a_n oraz c_n < g + \varepsilon.

Na podstawie nierówności z założenia zachodzi oszacowanie

g - \varepsilon < a_n \leqslant b_n \leqslant c_n < g + \varepsilon,

które jest równoważne

|b_n - g| < \varepsilon,

co oznacza, iż

\lim_{n \to \infty} b_n = g.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} = 4.
Otóż dla dowolnego \scriptstyle n zachodzą oszacowania
\sqrt[n]{4^n} \leqslant \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} \leqslant \sqrt[n]{4^n + 4^n + 4^n} = \sqrt[n]{3 \cdot 4^n} = 4 \sqrt[n] 3.
Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy \scriptstyle n \to \infty daje
\sqrt[n]{4^n} \to 4 gdyż dla \scriptstyle a > 0 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n} = a
oraz
4 \sqrt[n] 3 \to 4 gdyż dla \scriptstyle a > 0 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n] a = 1
skąd na mocy twierdzenia również
\sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} \to 4
  • Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą, że zbieżny do danej granicy jest także cały ciąg.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]