Twierdzenie o wiriale

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale  V = ar^n , średnie energie spełniają zależność

2\langle{E_k}\rangle= n\langle{E_p}\rangle.

Na przykład dla oscylatora harmonicznego V=kr^2, a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale \langle E_k\rangle=\langle E_p\rangle. Dla planety w polu grawitacyjnym V= -k/r, wobec tego 2\langle E_k\rangle=-\langle E_p\rangle.

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk - gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je w prosty sposób wyprowadzić z podstawowych zależności korzystając z podstawowych własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle

Podstawimy A = xp gdzie p jest operatorem pędu, a x operatorem położenia.

Żeby obliczyć komutator [xp, H] obliczymy najpierw  [xp, T] gdzie T oznacza operator energii kinetycznej.

[xp, T] = [x, T]p + x[p, T] = [x, T]p = \frac{1}{2m}[x, p^2]p =  \frac{1}{2m} ( [x, p]p + p[x, p]) p = \frac{2 i \hbar}{2m} p^2 = 2i\hbar T

Następnie obliczymy komutator [xp, V(x)] gdzie V jest energią potencjalną.

[xp, V(x)] = [x, V(x)]p + x[p, V(x)] = x[p, V(x)] = -i \hbar x \left[\frac{d}{dx}, V(x)\right] = -i \hbar x \left(\frac{dV(x)}{dx} + V(x)\frac{d}{dx} - V(x)\frac{d}{dx}\right) = -i \hbar x \frac{dV(x)}{dx}

W związku z tym: [xp, D] = [xp, T] + [xp, V(x)] = i\hbar \left(2T -x \frac{dV(x)}{dx} \right)

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta:

\frac{d}{dt}\langle xp\rangle = 2\langle T \rangle - \left\langle x \frac{dV(x)}{dx} \right\rangle

Twierdzenie o wiriale zachodzi gdy średnie występujące w powyższym równaniu są brane w stanie własnym hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

\frac{d}{dt}\langle xp\rangle = \frac{d}{dt} \langle \psi|xp|\psi \rangle =  \langle \dot{\psi}|xp|\psi \rangle + \langle \psi|xp|\dot{\psi}\rangle = \frac{-1}{i\hbar} \langle \psi|E xp|\psi \rangle  + \frac{1}{i\hbar} \langle \psi|xp E|\psi \rangle  = 0

gdzie ψ jest stanem własnym hamiltonianu, a E energią w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

 2\langle T \rangle = \left\langle x \frac{dV(x)}{dx} \right\rangle

Przyjmując V(x) = a x^n dostajemy twierdzenie wirialne.