Twierdzenie o wykresie domkniętym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie o wykresie domkniętym – jedno z podstawowych twierdzeń klasycznej analizy funkcjonalnej, charakteryzujące ciągłe przekształcenia liniowe między F-przestrzeniami, a więc w szczególności między przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech X oraz Y będą F-przestrzeniami. Jeżeli operator liniowy \Lambda\colon X\to Y ma domknięty wykres[1], to jest on ciągły.

Uwagi o dowodzie[edytuj | edytuj kod]

Dowód twierdzenia o wykresie domkniętym można przeprowadzić w oparciu o inne ważne twierdzenie analizy funkcjonalnej – twierdzenie o operatorze odwrotnym. Główna idea tego dowodu polega na skonstruowaniu odwzorowania liniowego, ciągłego i odwracalnego, dla którego odwrotne byłoby wyjściowym odwzorowaniem.

Przypisy

  1. tzn. zbiór \scriptstyle{\{(x, \Lambda x)\colon x\in X\}} jest zbiorem domkniętym w topologii Tichonowa przestrzeni \scriptstyle{X\times Y}

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.