Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Czasami twierdzenie to jest nazywane twierdzeniem Cauchy’ego o całce krzywoliniowej albo twierdzeniem całkowym Cauchy’ego.

Twierdzenie

Przypuśćmy, że $D\subseteq {\mathbb C}$ jest obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ${\mathbb C}$ ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą $C$. Niech $f:U\longrightarrow {\mathbb C}$ będzie funkcją analityczną na obszarze $U$, takim że $D\cup C\subseteq U$. Wówczas

$\int_C f(z)\; dz=0$

Wnioski

• Jeśli funkcja $f(z)$ jest analityczna w obszarze jednospójnym $D$ oraz $a,b\in D$, to dla każdych kawałkami gładkich krzywych $C_1,C_2$ łączących $a$ z $b$ mamy

$\int_{C_1} f(z)\; dz=\int_{C_2} f(z)\; dz$.

Zatem możemy zdefiniować całkę

$\int_a^b f(z)\; dz$

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

• Dla $D,f,a$ jak powyżej określmy funkcję $\Phi:D\longrightarrow {\mathbb C}$ przez

$\Phi(z)=\int_a^z f(\zeta)\;d\zeta$.

Wówczas funkcja $\Phi$ jest analityczna oraz $\Phi'(z)=f(z)$

• Niech $f(z)$ będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym $D$ z wyjątkiem punktów $z_{1}, z_{2}, ... , z_{n}$ oraz niech $C \subset D$ będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty $z_{1}, z_{2}, ... , z_{n}$ (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią $r>0$, taką że okręgi $K(z_i,r)$ o środku w $z_i$ i promieniu r (dla $i=1,\ldots,n$) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

$\oint\limits_{C^{+}} f(z)dz= \sum_{i=1}^n \oint\limits_{K(z_{i},r)} f(z)dz$

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio.)

Zobacz też

• wzór całkowy Cauchy’ego
• twierdzenie o residuach

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976, s. 89-95.
• Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 105-108, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.