Twierdzenie przeciwstawne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie przeciwstawne (także: kontrapozycja lub transpozycja) – dla danego twierdzenia zdanie orzekające wynikanie zaprzeczenia założenia z zaprzeczenia tezy. Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia jeżeli A, to B jest zdanie jeżeli nieprawda, że B, to nieprawda, że A.

Przykładowo kontrapozycjami twierdzeń:

Jeżeli pada deszcz, to ludzie wyciągają parasole.
Jeżeli trawa jest zielona, to 2 + 2 = 5.

są odpowiednio:

Jeżeli ludzie nie wyciągają parasolów, to znaczy, że nie pada.
Jeżeli 2 + 2 ≠ 5, to trawa nie jest zielona.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Zdanie

A \rightarrow B

można poddać kolejno przekształceniom (przy czym negacja \neg wiąże najsilniej, zob. prawa rachunku zdań):

\neg A \or B (prawo eliminacji implikacji),
\neg A \or \neg \neg B (prawo podwójnego zaprzeczenia),
\neg \neg B \or \neg A (prawo przemienności alternatywy),
\neg B \rightarrow \neg A (prawo eliminacji implikacji).

Oznacza to, iż

(A \rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A) (prawo transpozycji).

Słownie fakt ten wyraża się następująco:

twierdzenie przeciwstawne jest równoważne twierdzeniu wyjściowemu (oba są jednocześnie prawdziwe lub fałszywe).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]