Twierdzenie tangensów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Triangle.Labels.svg

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli a i b są długościami boków trójkąta, a \alpha i \beta są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność

{a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

a = 2R\sin \alpha i b = 2R \sin \beta,


{a-b \over a+b} = \frac{2R\sin{\alpha}-2R\sin{\beta}}{2R\sin{\alpha}+2R\sin{\beta}}=\frac{\sin{\alpha}-\sin{\beta}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}


Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości \operatorname{tg} \varphi = {\sin \varphi \over \cos \varphi} otrzymujemy

{\sin \alpha - \sin \beta \over \sin \alpha + \sin \beta} = \frac{ 2\cos{\alpha + \beta \over 2} \sin{\alpha - \beta \over 2} }{ 2\sin{\alpha + \beta \over 2} \cos{\alpha - \beta \over 2} } = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2} }{ \operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2} }.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]