Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana

Twierdzenie

Jeśli $a$ i $b$ są długościami boków trójkąta, a $\alpha$ i $\beta$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność

${a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}$.

Dowód

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

$a = 2R\sin \alpha$ i $b = 2R \sin \beta$,

${a-b \over a+b} = \frac{2R\sin{\alpha}-2R\sin{\beta}}{2R\sin{\alpha}+2R\sin{\beta}}=\frac{\sin{\alpha}-\sin{\beta}}{\sin{\alpha}+\sin{\beta}}$

Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości $\operatorname{tg} \varphi = {\sin \varphi \over \cos \varphi}$ otrzymujemy

${\sin \alpha - \sin \beta \over \sin \alpha + \sin \beta} = \frac{ 2\cos{\alpha + \beta \over 2} \sin{\alpha - \beta \over 2} }{ 2\sin{\alpha + \beta \over 2} \cos{\alpha - \beta \over 2} } = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2} }{ \operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2} }$.

Zobacz też

• twierdzenie sinusów
• twierdzenie cosinusów