Twierdzenie van Aubela

Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H.H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.

Twierdzenie van Aubela dla czworokąta

Twierdzenie Aubela można stosować do wszystkich czworokątów, zarówno wypukłych, jak i wklęsłych

Twierdzenie

Przypuśćmy, że jest dany czworokąt $ABCD.$ Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty $K_{AB},$ $K_{BC},$ $K_{CD}$ i $K_{DA}$ (takie, że odcinek $XY$ jest bokiem kwadratu $K_{XY}$). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli $M,N,O,P$ są środkami kwadratów $K_{AB},$ $K_{BC},$ $K_{CD},$ $K_{DA}$ (odpowiednio), to odcinki $OM$ i $NP$ są prostopadłe i mają tę samą długość.

Dowód

Rozważmy obrót o $90^{\circ }$ dookoła punktu $M,$ przy którym punkt $A$ przechodzi na punkt $B.$ Niech $P'$ oznacza obraz punktu $P$ przy tym przekształceniu. Wówczas, odcinki $BP'$ i $AP$ są równe i prostopadłe. Z tego wynika, że odcinki $PD$ i $BP'$ są równe i równoległe, czyli czworokąt $BP'DP$ jest równoległobokiem. Niech $Q$ będzie środkiem odcinka $DB.$ Ponieważ jest to środek odcinka $PP',$ zatem jest to również środek kwadratu opartego na boku $PM,$ czyli odcinki $PQ$ i $QM$ są równe i prostopadłe. Analogicznie dowodzimy, że odcinki $OQ$ i $QN$ są równe i prostopadłe. To oznacza, że przy takim obrocie o $90^{\circ }$ dookoła punktu $Q,$ że punkt $P$ przechodzi na punkt $M,$ punkt $N$ przechodzi na punkt $O$ – zatem istotnie, odcinki $OM$ i $NP$ są równe i prostopadłe, co kończy dowód

Twierdzenie van Aubela dla trójkąta

Twierdzenie

Niech będzie dany trójkąt $ABC$ i niech $P$ będzie punktem przecięcia trzech prostych łączących wierzchołki trójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą wyznaczone przez odcinki $AA_{1},$ $BB_{1}$ i $CC_{1},$ gdzie $A_{1}\in {\overline {BC}},$ $B_{1}\in {\overline {AC}},$ $C_{1}\in {\overline {AB}}.$ Wówczas

${\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}.$

Dowód

Niech $P_{\triangle XYZ}$ oznacza pole trójkąta $XYZ.$ Trójkąty $ABC$ i $PBC$ mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak ${\frac {AA_{1}}{PA_{1}}}.$ Zachodzi więc

${\frac {AA_{1}}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}},$

skąd wynika, że

${\frac {AP}{PA_{1}}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}.$

Rozważając trójkąty $ACC_{1}$ i $BCC_{1},$ zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka $C$), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACC_{1}}}{P_{\triangle BCC_{1}}}}.$

W podobny sposób otrzymujemy też

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}}.$

Zatem

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_{1}P}}}={\frac {P_{\triangle AC_{1}P}}{P_{\triangle BC_{1}P}}},$

a z tych równości wynika, że

(i)   ${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle ACP}}{P_{\triangle BCP}}}.$

Analogicznie uzasadniamy równość

(ii)  ${\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}.$

Dodając stronami równości (i) oraz (ii), otrzymujemy

${\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}+{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}={\frac {P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}}={\frac {AP}{PA_{1}}},$

co należało wykazać.

Zobacz też

• twierdzenie Cevy
• twierdzenie Menelaosa
• twierdzenie Napoleona

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., van Aubel’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Warendorff, Jay: Van Aubel’s Theorem for Triangles – a demonstration. MathWorld – A Wolfram Web Resource. (ang.).
• Warendorff, Jay: Van Aubel’s Theorem for Quadrilaterals – a demonstration. MathWorld – A Wolfram Web Resource. (ang.).