Ułamek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Ułamek – wyrażenie postaci \tfrac{a}{b}, gdzie a, nazywane licznikiem, oraz b, nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera. Iloraz \tfrac{a}{0} jest bowiem nieokreślony.

Istnieją także ułamki niewłaściwe, w których licznik jest większy lub równy mianownikowi, np. \tfrac{4}{2} lub \tfrac{5}{5}.

Liczby wymierne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. 1 + \tfrac{2}{3} staje się 1\tfrac{2}{3}

Działania na ułamkach[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego c \ne 0\; ułamek \tfrac{a}{b} jest równy \tfrac{ac}{bc}. Operację zamiany \tfrac{a}{b} na \tfrac{ac}{bc} nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, na przykład: \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{45}
\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.

Przedstawienie liczby k\; w postaci ułamka \tfrac{k}{1} prowadzi do wzorów:

\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b},
\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}.

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m},\quad\quad \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}.

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd},\quad\quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}.

Liczba bd\; może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb b\; i d\;.

Wyrażenia wymierne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego pierścienia całkowitego P\; (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków. Definiuje się je jako zbiór klas abstrakcji relacji równoważności \sim określonej w iloczynie kartezjańskim P \times P^* w następujący sposób:

[a, b] \sim [c, d] \iff ad = bc.

W zbiorze tym wprowadza się również działania dodawania i mnożenia:

[a, b] + [c,d] = [ad + bc, bd]\;,
[a,b] \cdot [c,d] = [ac, bd].

Jak wspomniano wcześniej, ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych.

Istotność założenia całkowitości pierścienia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli xy = 0 dla niezerowych x, y\in P, to

[1, 1] \sim [x, x] = [x, 1] \cdot [1, x] \sim [xy, y] \cdot [1, x] = [0, y] \cdot [1, x] \sim [0, 1] \cdot [1,x] = [0, x] \sim [0,1],

czyli

[1, 1] \sim [0,1]\;,

stąd zaś dla dowolnego

[a, b] = [a, b] \cdot [1, 1] \sim [a, b] \cdot [0, 1] = [0, b] \sim [0, 1],

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa [0, 1], a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia[edytuj | edytuj kod]

Ten artykuł jest częścią serii
Historia oznaczeń
matematycznych
Rhind Mathematical Papyrus.jpg

+ i −
=
≤, ≥, <, >
znak nieskończoności
ułamki zwykłe
separator dziesiętny
moduł
znak epsilon


Według działów
matematyki

analiza matematyczna
rachunek różniczkowy i całkowy
logika
teoria grafów
teoria liczb


Stałe matematyczne

Edytuj ten szablon

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. 34; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. \tfrac{3}{4}.

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:

  • ¼ (jedna czwarta),
  • ½ (jedna druga),
  • ¾ (trzy czwarte),
  • ⅓ (jedna trzecia),
  • ⅔ (dwie trzecie),
  • ⅛ (jedna ósma),
  • ⅜ (trzy ósme),
  • ⅝ (pięć ósmych),
  • ⅞ (siedem ósmych).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]