Układ Lorenza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Początkowa trajektoria układu Lorenza
Trajektoria układu Lorenza dla parametrów r=28, σ = 10, b = 8/3

Układ Lorenza - przedstawiony przez Edwarda Lorenza w 1963 układ trzech nieliniowych równań różniczkowych modelujący w możliwie najprostszy sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze. Dla pewnego zbioru parametrów układ zachowuje się chaotycznie, a wykres zmiennych w przestrzeni fazowej przedstawia dziwny atraktor (tzw. atraktor Lorenza).

\begin{cases}
\dot x=\sigma y-\sigma x\\
\dot y=-xz+rx-y\\
\dot z=xy-bz
\end{cases}

gdzie:

  • \sigma\, - liczba Prandtla - charakteryzująca lepkość ośrodka,
  • r\, - liczba Rayleigha - charakteryzująca przewodnictwo cieplne ośrodka,
  • b\, - stała charakteryzująca rozmiary obszaru, w którym odbywa się przepływ konwekcyjny.

Stałe \sigma,r,b\, są dodatnie, ale zwykle \sigma=10\,, b=8/3\,, a r\, jest zmienne. Układ przejawia chaos dla r=28\,, ale przejawia również splątane orbity okresowe dla innych wartości r\,, np. dla r=99.96\, układ staje się T(3,2)\, węzłem torusowym.

Poniżej znajduje się kod źródłowy napisany w środowisku MATLAB, który rozwiązuje omawiany układ równań oraz prezentuje wynik w postaci animacji:

% układ równań różniczkowych
sigma = 10;
r = 99.96;
b = 8/3;
dy = @(t,y)[sigma*(y(2)-y(1));
            -y(1)*y(3)+r*y(1)-y(2);
            y(1)*y(2)-b*y(3)];
% rozwiązanie układu        
[t,y] = ode45(dy,[0 100],[0 0.5 1]);
% rysowanie wyniku
comet3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))
Commons in image icon.svg

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos, Sci. 20 (1963), str. 130-141

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]