Układ autonomiczny (matematyka)

Układ autonomiczny - termin stosowany w matematyce, fizyce i teorii sterowania.

Matematyka

W matematyce przez układ autonomiczny rozumie się autonomiczne równanie różniczkowe, które nie zależy od zmiennej niezależnej. Gdy zmienną tą jest czas mówi się o układzie stacjonarnym.

Fizyka

Wiele praw fizyki, uznającej czas za zmienną niezależną, wyraża się w postaci układów autonomicznych. Uważa się to za zgodne z prawami natury, które tak samo obowiązują dziś jak i w dowolnej chwili w przeszłości lub przyszłości.

Ściśle recz biorąc wszystkie układy fizyczne są nieautonomiczne, ponieważ żadna z ich charakterystyk nie jest stała w czasie. Pojęcie układu autonomicznego jest pojęciem idealnym, podobnie jak pojęcie układu liniowego. W praktyce własności układu często zmieniają się bardzo wolno i można zaniedbać ich zmiany czasowe bez popełniania znaczących błędów.

Teoria sterowania

W teorii sterownia układy liniowe są klasyfikowane jako stacjonarne lub niestacjonarne zależnie od tego czy macierz układu zmienia się w czasie czy nie. W ogólnym kontekście układów nieliniowych terminy układ stacjonarny i układ niestacjonarny zastępowane są opowiednio przez układ autonomiczny i układ nieautonomiczny.

Układ nieliniowy opisany układem nieliniowych równań różniczkowych

$\dot{x}=f(x)\,$

gdzie $f\,$ jest nieliniową funkcją wektorową a $x\,$ wektorem zmiennych stanu o wymiarze $n\times{1}\,$ jest autonomiczny, jeżeli $f\,$ nie zależy wprost od czasu, to jest jeżeli równanie stanów układu może być zapisane jako

$\dot{x}=f(x)\,$.

W przeciwnym przypadku układ nazywany jest nieautonomicznym.

Proces przejściowy w układzie liniowym zależy wyłącznie od dynamiki tego układu, a nie zależy od wymuszenia. W nieliniowym układzie proces przejściowy zależy od procesu wymuszonego czyli od wymuszenia.

Zasadnicza różnica między układami autonomicznymi i nieautonomicznymi polega na tym, że trajektoria stanów układów autonomicznych jest niezależna od początkowego czasu, podczas gdy dla układów nieautonomicznych ogólnie tak nie jest.

Obiekt stacjonarny opisany równaniem

$\dot{x}=f(x,u)\,$.

można sprowadzić do układu nieautonomicznego, o zamkniętej pętli, jeżeli przyjmie się sterowanie zależne od czasu to znaczy: $u=g(x,t)\,$. Układy adaptacyjne dla obiektów liniowych stacjonarnych mają zazwyczaj w układzie zamkniętym układy nieliniowe i nieautonomiczne.

Liniowe układy stacjonarne (ang. Linear Time-Invariant - LTI) są autonomiczne. Liniowe układy niestacjonarne (ang. Linear Time-Varying - LTV) są nieautonomiczne.