Układ biortogonalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Układ biortogonalny - dla przestrzeni unormowanej X, indeksowany ciąg elementów X\times X^* postaci ((x_t, x_t^*))_{t\in T} o tej własności, że x_s^*x_t=\delta_{st} (zob. symbol Kroneckera). Indeksowany ciąg (x_t)_{t\in T} punktów p. X nazywany jest minimalnym, jeżeli istnieje ciąg (x_t^*)_{t\in T} punktów p. X^* taki, że ((x_t, x_t^*))_{t\in T} jest układem biortogonalnym. Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha dla każdej przestrzeni unormowanej można podać przykład układu biortogonalnego. Dokładniej, ciąg (x_t)_{t\in T} jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t\in T:

x_t\notin \mbox{cl lin}\{x_s\colon\, s\in T\setminus\{t\}\}.

Definicję układu biortogonalnego można mutatis mutandis rozszerzyć na klasę przestrzeni liniowo-topologicznych o nietrywialnych przestrzeniach sprzężonych.

Istnienie układów biortogonalnych[edytuj | edytuj kod]

  • W każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha X dla każdego ε > 0 istnieje taki przeliczalny układ biortogonalny ((xn, x*n))n, że wektory xn są liniowo gęste w X, jeżeli ‹ xn, x › = 0 dla każdego n to x = 0 oraz
||xn*|| · ||xn|| < 1 + ε
dla wszelkich n[1].

Bazy Markuszewicza[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Układ biortogonalny ((x_t, x_t^*))_{t\in T} nazywany jest:

  • fundamentalnym, jeżeli
\mbox{cl lin}\{x_t\colon\, s\in T\}=X.
  • totalnym, jeżeli
\mbox{cl}_{w^*}\mbox{lin}\{x^*_t\colon\, s\in T\}=X^* (gdzie \mbox{cl}_{w^*} oznacza operację domknięcia w sensie *-słabej topologii).
  • bazą Markuszewicza (albo M-bazą) gdy jest fundamentalny i totalny.
  • układem Auerbacha, jeżeli \|x_t\|=\|x_t^*\|=1 dla każdego t\in T.
  • bazą Auerbacha, jeżeli jest bazą Markuszewicza i układem Auerbacha.

Nazwa pojęcia bazy Markuszewicza pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka, Aleksjeja Markuszewicza. Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma M-bazę. Problem istnienia M-baz dla przestrzeni Banacha typu WCG jest ciągle otwarty. Prawdziwe jest natomiast następujące twierdzenie Auerbacha, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń Banacha ma bazę Auerbacha.

Układy biortogonalne dużej mocy[edytuj | edytuj kod]

Kenneth Kunen, podał jako pierwszy, pod założeniem hipotezy continuum, przykład przestrzeni Banacha, której wszystkie układy biortogonalne są przeliczalne (Kunen nie opublikował swojego wyniku - pojawił się on w monografii [2]). Kolejny przykład, pod założeniem diamentu Jensena, podał Saharon Shelah[3].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, ISBN 0387689141.

Przypisy

  1. A. Pełczyński, All separable Banach space admit for every ε > 0 fundamental total and bounded by 1 + ε biorthogonal sequences, Studia Mathematica 55 (1976), 295-304.
  2. S. Negrepontis, Banach spaces and topology w: K. Kunen (ed.), J.E. Vaughan (ed.), Handbook of set-theoretic topology, Elsevier Sci. (1984) ss. 1045–1142.
  3. S. Shelah. Uncountable constructions for B.A., e.c. groups and Banach spaces, Israel J. Math., 51 (1985), 273-297.